Theorem pfxnd0 14678

Description: The value of a prefix operation for a length argument not in the range of the word length is the empty set. (This is due to our definition of function values for out-of-domain arguments, see ndmfv 6937). (Contributed by AV, 3-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
pfxnd0	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∉ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅)

Proof of Theorem pfxnd0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nel 3044	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∉ (0...(♯‘𝑊)) ↔ ¬ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝐿 ∉ (0...(♯‘𝑊)) ↔ ¬ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))))
3		elfz2nn0 13632	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)))
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊))))
5	4	notbid 317	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (¬ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ ¬ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊))))
6		3ianor 1104	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) ↔ (¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)))
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (¬ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) ↔ (¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊))))
8	2, 5, 7	3bitrd 304	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝐿 ∉ (0...(♯‘𝑊)) ↔ (¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊))))
9		3orrot 1089	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) ↔ (¬ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊) ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0))
10		3orass 1087	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊) ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0) ↔ (¬ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∨ (¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊) ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0)))
11		lencl 14523	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
12	11	pm2.24d 151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (¬ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅))
13	12	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅))
14		simpr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℕ0)
15		pfxnndmnd 14662	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (𝑊 ∈ V ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅)
16	14, 15	nsyl5 159	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝐿 ∈ ℕ0 → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅)
17	16	a1d 25	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝐿 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅))
18		notnotb 314	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 ↔ ¬ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0)
19	11	nn0red 12571	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
20		nn0re 12519	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ ℝ)
21		ltnle 11331	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((♯‘𝑊) < 𝐿 ↔ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)))
22	19, 20, 21	syl2an 594	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑊) < 𝐿 ↔ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)))
23		pfxnd 14677	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) < 𝐿) → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅)
24	23	3expia 1118	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑊) < 𝐿 → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅))
25	22, 24	sylbird 259	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊) → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅))
26	25	expcom 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊) → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅)))
27	26	com23 86	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → (¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅)))
28	18, 27	sylbir 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0 → (¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅)))
29	28	imp 405	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅))
30	17, 29	jaoi3 1058	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅))
31	30	orcoms 870	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊) ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅))
32	13, 31	jaoi 855	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∨ (¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊) ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅))
33	10, 32	sylbi 216	. . . . 5 ⊢ ((¬ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊) ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅))
34	9, 33	sylbi 216	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅))
35	34	com12 32	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅))
36	8, 35	sylbid 239	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝐿 ∉ (0...(♯‘𝑊)) → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅))
37	36	imp 405	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∉ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∨ w3o 1083   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∉ wnel 3043  Vcvv 3473  ∅c0 4326   class class class wbr 5152  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  ℝcr 11145  0cc0 11146   < clt 11286   ≤ cle 11287  ℕ₀cn0 12510  ...cfz 13524  ♯chash 14329  Word cword 14504   prefix cpfx 14660

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-hash 14330  df-word 14505  df-substr 14631  df-pfx 14661

This theorem is referenced by: (None)

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »