Theorem recld 15167

Description: The real part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
recld	⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem recld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		recl 15083	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6542  ℂcc 11130  ℝcr 11131  ℜcre 15070

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-2 12299  df-cj 15072  df-re 15073

This theorem is referenced by:  abstri  15303  sqreulem  15332  eqsqrt2d  15341  rlimrege0  15549  recoscl  16111  cos01bnd  16156  cnsubrg  21353  mbfeqa  25565  mbfss  25568  mbfmulc2re  25570  mbfadd  25583  mbfmulc2  25585  mbflim  25590  mbfmul  25649  iblcn  25721  itgcnval  25722  itgre  25723  itgim  25724  iblneg  25725  itgneg  25726  iblss  25727  itgeqa  25736  iblconst  25740  ibladd  25743  itgadd  25747  iblabs  25751  iblabsr  25752  iblmulc2  25753  itgmulc2  25756  itgabs  25757  itgsplit  25758  bddiblnc  25764  dvlip  25919  tanregt0  26466  efif1olem4  26472  eff1olem  26475  lognegb  26517  relog  26524  efiarg  26534  cosarg0d  26536  argregt0  26537  argrege0  26538  abslogle  26545  logcnlem4  26572  cxpsqrtlem  26629  cxpcn3lem  26675  abscxpbnd  26681  cosangneg2d  26732  angrtmuld  26733  lawcoslem1  26740  isosctrlem1  26743  asinlem3a  26795  asinlem3  26796  asinneg  26811  asinsinlem  26816  asinsin  26817  acosbnd  26825  atanlogaddlem  26838  atanlogadd  26839  atanlogsublem  26840  atanlogsub  26841  atantan  26848  o1cxp  26900  cxploglim2  26904  zetacvg  26940  lgamgulmlem2  26955  sqsscirc2  33504  ibladdnc  37144  itgaddnc  37147  iblabsnc  37151  iblmulc2nc  37152  itgmulc2nc  37155  itgabsnc  37156  ftc1anclem2  37161  ftc1anclem5  37164  ftc1anclem6  37165  ftc1anclem8  37167  cntotbnd  37263  sqrtcvallem1  43055  sqrtcvallem4  43063  isosctrlem1ALT  44367  iblsplit  45348

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »