Theorem rhmdvd 33046

Description: A ring homomorphism preserves ratios. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmdvd.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑆)
rhmdvd.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
rhmdvd.d	⊢ / = (/r‘𝑆)
rhmdvd.m	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rhmdvd	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹‘𝐶) ∈ 𝑈)) → ((𝐹‘𝐴) / (𝐹‘𝐵)) = ((𝐹‘(𝐴 · 𝐶)) / (𝐹‘(𝐵 · 𝐶))))

Proof of Theorem rhmdvd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹‘𝐶) ∈ 𝑈)) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
2		simp21 1204	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹‘𝐶) ∈ 𝑈)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
3		simp23 1206	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹‘𝐶) ∈ 𝑈)) → 𝐶 ∈ 𝑋)
4		rhmdvd.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
5		rhmdvd.m	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
7	4, 5, 6	rhmmul 20425	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝐴 · 𝐶)) = ((𝐹‘𝐴)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐶)))
8	1, 2, 3, 7	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹‘𝐶) ∈ 𝑈)) → (𝐹‘(𝐴 · 𝐶)) = ((𝐹‘𝐴)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐶)))
9		simp22 1205	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹‘𝐶) ∈ 𝑈)) → 𝐵 ∈ 𝑋)
10	4, 5, 6	rhmmul 20425	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐹‘𝐵)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐶)))
11	1, 9, 3, 10	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹‘𝐶) ∈ 𝑈)) → (𝐹‘(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐹‘𝐵)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐶)))
12	8, 11	oveq12d 7438	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹‘𝐶) ∈ 𝑈)) → ((𝐹‘(𝐴 · 𝐶)) / (𝐹‘(𝐵 · 𝐶))) = (((𝐹‘𝐴)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐶)) / ((𝐹‘𝐵)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐶))))
13		rhmrcl2 20416	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
14	13	3ad2ant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹‘𝐶) ∈ 𝑈)) → 𝑆 ∈ Ring)
15		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
16	4, 15	rhmf 20424	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝑋⟶(Base‘𝑆))
17	16	3ad2ant1 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹‘𝐶) ∈ 𝑈)) → 𝐹:𝑋⟶(Base‘𝑆))
18	17, 2	ffvelcdmd 7095	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹‘𝐶) ∈ 𝑈)) → (𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘𝑆))
19		simp3l 1199	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹‘𝐶) ∈ 𝑈)) → (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑈)
20		simp3r 1200	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹‘𝐶) ∈ 𝑈)) → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝑈)
21		rhmdvd.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑆)
22		rhmdvd.d	. . . 4 ⊢ / = (/r‘𝑆)
23	15, 21, 22, 6	dvrcan5 32957	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ ((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹‘𝐶) ∈ 𝑈)) → (((𝐹‘𝐴)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐶)) / ((𝐹‘𝐵)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐶))) = ((𝐹‘𝐴) / (𝐹‘𝐵)))
24	14, 18, 19, 20, 23	syl13anc 1370	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹‘𝐶) ∈ 𝑈)) → (((𝐹‘𝐴)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐶)) / ((𝐹‘𝐵)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐶))) = ((𝐹‘𝐴) / (𝐹‘𝐵)))
25	12, 24	eqtr2d 2769	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹‘𝐶) ∈ 𝑈)) → ((𝐹‘𝐴) / (𝐹‘𝐵)) = ((𝐹‘(𝐴 · 𝐶)) / (𝐹‘(𝐵 · 𝐶))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ⟶wf 6544  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17180  ._rcmulr 17234  Ringcrg 20173  Unitcui 20294  /_rcdvr 20339   RingHom crh 20408

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-0g 17423  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-mhm 18740  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-ghm 19168  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-oppr 20273  df-dvdsr 20296  df-unit 20297  df-invr 20327  df-dvr 20340  df-rhm 20411

This theorem is referenced by:  qqhval2lem  33582  qqhghm  33589  qqhrhm  33590

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »