Theorem ringinveu 32974

Description: If a ring unit element 𝑋 admits both a left inverse 𝑌 and a right inverse 𝑍, they are equal. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
isdrng4.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isdrng4.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
isdrng4.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
isdrng4.x	⊢ · = (.r‘𝑅)
isdrng4.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
isdrng4.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ringinveu.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ringinveu.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
ringinveu.3	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
ringinveu.4	⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝑋) = 1 )
ringinveu.5	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) = 1 )

Assertion

Ref	Expression
ringinveu	⊢ (𝜑 → 𝑍 = 𝑌)

Proof of Theorem ringinveu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringinveu.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) = 1 )
2	1	oveq2d 7436	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · (𝑋 · 𝑍)) = (𝑌 · 1 ))
3		ringinveu.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝑋) = 1 )
4	3	oveq1d 7435	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 · 𝑋) · 𝑍) = ( 1 · 𝑍))
5		isdrng4.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		isdrng4.x	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
7		isdrng4.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8		ringinveu.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
9		ringinveu.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		ringinveu.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
11	5, 6, 7, 8, 9, 10	ringassd 20197	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 · 𝑋) · 𝑍) = (𝑌 · (𝑋 · 𝑍)))
12		isdrng4.1	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
13	5, 6, 12, 7, 10	ringlidmd 20208	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( 1 · 𝑍) = 𝑍)
14	4, 11, 13	3eqtr3d 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · (𝑋 · 𝑍)) = 𝑍)
15	5, 6, 12, 7, 8	ringridmd 20209	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · 1 ) = 𝑌)
16	2, 14, 15	3eqtr3d 2776	1 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17180  ._rcmulr 17234  0_gc0g 17421  1_rcur 20121  Ringcrg 20173  Unitcui 20294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-plusg 17246  df-0g 17423  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-mgp 20075  df-ur 20122  df-ring 20175

This theorem is referenced by:  isdrng4  32975  drngidl  33162  qsdrngi  33219

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »