Theorem rlimneg 15626

Description: Limit of the negative of a sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimneg.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
rlimneg.2	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
rlimneg	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) ⇝𝑟 -𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem rlimneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cnd 11237	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ∈ ℂ)
2		rlimneg.1	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
3		rlimneg.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
4	2, 3	rlimmptrcl 15585	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
5	2	ralrimiva 3136	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉)
6		dmmptg 6246	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → dom (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
8		rlimss 15479	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶 → dom (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
9	3, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
10	7, 9	eqsstrrd 4017	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
11		0cn 11236	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
12		rlimconst 15521	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0) ⇝𝑟 0)
13	10, 11, 12	sylancl 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0) ⇝𝑟 0)
14	1, 4, 13, 3	rlimsub 15622	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (0 − 𝐵)) ⇝𝑟 (0 − 𝐶))
15		df-neg 11477	. . 3 ⊢ -𝐵 = (0 − 𝐵)
16	15	mpteq2i 5253	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (0 − 𝐵))
17		df-neg 11477	. 2 ⊢ -𝐶 = (0 − 𝐶)
18	14, 16, 17	3brtr4g 5182	1 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) ⇝𝑟 -𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3051   ⊆ wss 3945   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5677  (class class class)co 7417  ℂcc 11136  ℝcr 11137  0cc0 11138   − cmin 11474  -cneg 11475   ⇝_𝑟 crli 15462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7870  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-pm 8846  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-sup 9465  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-seq 14000  df-exp 14060  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-rlim 15466

This theorem is referenced by: (None)

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »