Theorem rpxdivcld 32651

Description: Closure law for extended division of positive reals. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpxdivcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
rpxdivcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpxdivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpxdivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpxdivcld.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpred 13042	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		rpxdivcld.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
4	3	rpred 13042	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5	3	rpne0d 13047	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
6		rexdiv 32643	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 /𝑒 𝐵) = (𝐴 / 𝐵))
7	2, 4, 5, 6	syl3anc 1369	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /𝑒 𝐵) = (𝐴 / 𝐵))
8	1, 3	rpdivcld 13059	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)
9	7, 8	eqeltrd 2829	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2936  (class class class)co 7414  ℝcr 11131  0cc0 11132   / cdiv 11895  ℝ⁺crp 13000   /_𝑒 cxdiv 32634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-rp 13001  df-xneg 13118  df-xmul 13120  df-xdiv 32635

This theorem is referenced by:  xrpxdivcld  32652  probfinmeasbALTV  34043

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »