Theorem seqp1d 14019

Description: Value of the sequence builder function at a successor, deduction form. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.) (Revised by AV, 3-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqp1d.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
seqp1d.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
seqp1d.3	⊢ 𝐾 = (𝑁 + 1)
seqp1d.4	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = 𝐴)
seqp1d.5	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐾) = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
seqp1d	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem seqp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqp1d.3	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (𝑁 + 1)
2	1	fveq2i 6899	. . 3 ⊢ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1))
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)))
4		seqp1d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
5		seqp1d.1	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6	4, 5	eleqtrdi 2835	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
7		seqp1 14017	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
9		seqp1d.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = 𝐴)
10	1	fveq2i 6899	. . . 4 ⊢ (𝐹‘𝐾) = (𝐹‘(𝑁 + 1))
11		seqp1d.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐾) = 𝐵)
12	10, 11	eqtr3id 2779	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑁 + 1)) = 𝐵)
13	9, 12	oveq12d 7437	. 2 ⊢ (𝜑 → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))) = (𝐴 + 𝐵))
14	3, 8, 13	3eqtrd 2769	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  1c1 11141   + caddc 11143  ℤ_≥cuz 12855  seqcseq 14002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-seq 14003

This theorem is referenced by:  climcndslem2  15832  ege2le3  16070  efgt1p2  16094  efgt1p  16095  ovolunlem1a  25469  itcoval1  47922  itcoval2  47923  itcoval3  47924  itcovalsuc  47926  ackvalsuc1mpt  47937

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »