Theorem sge0pnffigtmpt 45828

Description: If the generalized sum of nonnegative reals is +∞, then any real number can be dominated by finite subsums. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0pnffigtmpt.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
sge0pnffigtmpt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0pnffigtmpt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
sge0pnffigtmpt.p	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞)
sge0pnffigtmpt.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
sge0pnffigtmpt	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑌 < (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥   𝑥,𝐵   𝑥,𝑌   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem sge0pnffigtmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0pnffigtmpt.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		sge0pnffigtmpt.k	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
3		sge0pnffigtmpt.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
4		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
5	2, 3, 4	fmptdf 7127	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
6		sge0pnffigtmpt.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞)
7		sge0pnffigtmpt.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
8	1, 5, 6, 7	sge0pnffigt 45784	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑌 < (Σ^‘((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑥)))
9		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑌 < (Σ^‘((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑥))) → 𝑌 < (Σ^‘((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑥)))
10		elpwinss 44413	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
11	10	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑌 < (Σ^‘((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑥))) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
12	11	resmptd 6044	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑌 < (Σ^‘((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑥))) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑥) = (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))
13	12	fveq2d 6901	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑌 < (Σ^‘((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑥))) → (Σ^‘((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑥)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))
14	9, 13	breqtrd 5174	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑌 < (Σ^‘((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑥))) → 𝑌 < (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))
15	14	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (𝑌 < (Σ^‘((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑥)) → 𝑌 < (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))))
16	15	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑌 < (Σ^‘((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑥)) → 𝑌 < (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))))
17	16	reximdva 3165	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑌 < (Σ^‘((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑥)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑌 < (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))))
18	8, 17	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑌 < (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534  Ⅎwnf 1778   ∈ wcel 2099  ∃wrex 3067   ∩ cin 3946   ⊆ wss 3947  𝒫 cpw 4603   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   ↾ cres 5680  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  Fincfn 8964  ℝcr 11138  0cc0 11139  +∞cpnf 11276   < clt 11279  [,]cicc 13360  Σ^{^}csumge0 45750

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9466  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-rp 13008  df-ico 13363  df-icc 13364  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-seq 14000  df-exp 14060  df-hash 14323  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-clim 15465  df-sum 15666  df-sumge0 45751

This theorem is referenced by:  sge0pnffsumgt  45830

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »