Theorem sge0repnf 45774

Description: The of nonnegative extended reals is a real number if and only if it is not +∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0repnf.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
sge0repnf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
sge0repnf	⊢ (𝜑 → ((Σ^‘𝐹) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞))

Proof of Theorem sge0repnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renepnf 11293	. . . 4 ⊢ ((Σ^‘𝐹) ∈ ℝ → (Σ^‘𝐹) ≠ +∞)
2	1	neneqd 2942	. . 3 ⊢ ((Σ^‘𝐹) ∈ ℝ → ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞)
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘𝐹) ∈ ℝ → ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞))
4		rge0ssre 13466	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
5		0xr 11292	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ*
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → 0 ∈ ℝ*)
7		pnfxr 11299	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → +∞ ∈ ℝ*)
9		sge0repnf.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
10		sge0repnf.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
11	9, 10	sge0xrcl 45773	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ*)
12	11	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ*)
13	9, 10	sge0ge0 45772	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (Σ^‘𝐹))
14	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → 0 ≤ (Σ^‘𝐹))
15		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞)
16		nltpnft 13176	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Σ^‘𝐹) ∈ ℝ* → ((Σ^‘𝐹) = +∞ ↔ ¬ (Σ^‘𝐹) < +∞))
17	11, 16	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘𝐹) = +∞ ↔ ¬ (Σ^‘𝐹) < +∞))
18	17	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → ((Σ^‘𝐹) = +∞ ↔ ¬ (Σ^‘𝐹) < +∞))
19	15, 18	mtbid 324	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → ¬ ¬ (Σ^‘𝐹) < +∞)
20	19	notnotrd 133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → (Σ^‘𝐹) < +∞)
21	6, 8, 12, 14, 20	elicod 13407	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → (Σ^‘𝐹) ∈ (0[,)+∞))
22	4, 21	sselid 3978	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ)
23	22	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ (Σ^‘𝐹) = +∞ → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ))
24	3, 23	impbid 211	1 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘𝐹) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5148  ⟶wf 6544  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  ℝcr 11138  0cc0 11139  +∞cpnf 11276  ℝ^*cxr 11278   < clt 11279   ≤ cle 11280  [,)cico 13359  [,]cicc 13360  Σ^{^}csumge0 45750

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9466  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-rp 13008  df-ico 13363  df-icc 13364  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-seq 14000  df-exp 14060  df-hash 14323  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-clim 15465  df-sum 15666  df-sumge0 45751

This theorem is referenced by:  sge0rern  45776  sge0supre  45777  sge0less  45780  sge0le  45795  sge0split  45797  sge0iunmpt  45806  sge0rpcpnf  45809  sge0xadd  45823  sge0repnfmpt  45827  sge0gtfsumgt  45831  omeiunltfirp  45907  hoidmv1lelem1  45979  hoidmv1lelem2  45980  hoidmv1lelem3  45981  hoidmv1le  45982  hoidmvlelem3  45985  hoidmvlelem5  45987

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »