Theorem submuladdmuld 47774

Description: Transformation of a sum of a product of a difference and a product with the subtrahend of the difference. (Contributed by AV, 2-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
submuladdmuld.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
submuladdmuld.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
submuladdmuld.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
submuladdmuld.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
submuladdmuld	⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (𝐷 − 𝐶))))

Proof of Theorem submuladdmuld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submuladdmuld.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		submuladdmuld.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		submuladdmuld.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	subdird 11701	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))
5	4	oveq1d 7435	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷)) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)) + (𝐵 · 𝐷)))
6	1, 3	mulcld 11264	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
7	2, 3	mulcld 11264	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
8		submuladdmuld.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
9	2, 8	mulcld 11264	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐷) ∈ ℂ)
10	6, 7, 9	subadd23d 11623	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)) + (𝐵 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) + ((𝐵 · 𝐷) − (𝐵 · 𝐶))))
11	2, 8, 3	subdid 11700	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐷 − 𝐶)) = ((𝐵 · 𝐷) − (𝐵 · 𝐶)))
12	11	eqcomd 2734	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐷) − (𝐵 · 𝐶)) = (𝐵 · (𝐷 − 𝐶)))
13	12	oveq2d 7436	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) + ((𝐵 · 𝐷) − (𝐵 · 𝐶))) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (𝐷 − 𝐶))))
14	5, 10, 13	3eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵) · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (𝐷 − 𝐶))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  (class class class)co 7420  ℂcc 11136   + caddc 11141   · cmul 11143   − cmin 11474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-ltxr 11283  df-sub 11476

This theorem is referenced by:  rrx2vlinest  47814

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »