Theorem ubmelm1fzo 13760

Description: The result of subtracting 1 and an integer of a half-open range of nonnegative integers from the upper bound of this range is contained in this range. (Contributed by AV, 23-Mar-2018.) (Revised by AV, 30-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ubmelm1fzo	⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ (0..^𝑁))

Proof of Theorem ubmelm1fzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo0 13705	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
2		nnz 12609	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
3	2	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
4		nn0z 12613	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℤ)
5	4	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℤ)
6	3, 5	zsubcld 12701	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
7	6	ancoms 458	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
8		peano2zm 12635	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ → ((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ ℤ)
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ ℤ)
10	9	3adant3 1130	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ ℤ)
11		simp3 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 < 𝑁)
12	4, 2	anim12i 612	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
13	12	3adant3 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
14		znnsub 12638	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ))
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ))
16	11, 15	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)
17		nnm1ge0 12660	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ → 0 ≤ ((𝑁 − 𝐾) − 1))
18	16, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → 0 ≤ ((𝑁 − 𝐾) − 1))
19		elnn0z 12601	. . . 4 ⊢ (((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ ℕ0 ↔ (((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑁 − 𝐾) − 1)))
20	10, 18, 19	sylanbrc 582	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ ℕ0)
21		simp2 1135	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
22		nncn 12250	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
23	22	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
24		nn0cn 12512	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℂ)
25	24	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℂ)
26		1cnd 11239	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
27	23, 25, 26	subsub4d 11632	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 𝐾) − 1) = (𝑁 − (𝐾 + 1)))
28		nn0p1gt0 12531	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 0 < (𝐾 + 1))
29	28	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < (𝐾 + 1))
30		nn0re 12511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℝ)
31		peano2re 11417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
32	30, 31	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
33		nnre 12249	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
34		ltsubpos 11736	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < (𝐾 + 1) ↔ (𝑁 − (𝐾 + 1)) < 𝑁))
35	32, 33, 34	syl2an 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 < (𝐾 + 1) ↔ (𝑁 − (𝐾 + 1)) < 𝑁))
36	29, 35	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − (𝐾 + 1)) < 𝑁)
37	27, 36	eqbrtrd 5170	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 𝐾) − 1) < 𝑁)
38	37	3adant3 1130	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((𝑁 − 𝐾) − 1) < 𝑁)
39		elfzo0 13705	. . 3 ⊢ (((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ (0..^𝑁) ↔ (((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 − 𝐾) − 1) < 𝑁))
40	20, 21, 38, 39	syl3anbrc 1341	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ (0..^𝑁))
41	1, 40	sylbi 216	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ (0..^𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5148  (class class class)co 7420  ℂcc 11136  ℝcr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   < clt 11278   ≤ cle 11279   − cmin 11474  ℕcn 12242  ℕ₀cn0 12502  ℤcz 12588  ..^cfzo 13659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660

This theorem is referenced by:  repswrevw  14769  cshwidxm1  14789  pwdif  15846  revpfxsfxrev  34725  revwlk  34734

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »