Theorem upgrwlkvtxedg 29472

Description: The pairs of connected vertices of a walk are edges in a pseudograph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jul-2018.) (Revised by AV, 2-Jan-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
wlkvtxedg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
upgrwlkvtxedg	⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑃,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑘)

Proof of Theorem upgrwlkvtxedg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
3	1, 2	upgriswlk 29468	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})))
4		wlkvtxedg.e	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
5	2, 4	upgredginwlk 29463	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)) → (𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) ∈ 𝐸))
6	5	ancoms 458	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) → (𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) ∈ 𝐸))
7	6	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) ∈ 𝐸)
8		eleq1 2817	. . . . . . . . 9 ⊢ ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) ∈ 𝐸))
9	8	eqcoms 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) ∈ 𝐸))
10	7, 9	syl5ibrcom 246	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸))
11	10	ralimdva 3164	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph) → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸))
12	11	impancom 451	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) → (𝐺 ∈ UPGraph → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸))
13	12	3adant2 1129	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) → (𝐺 ∈ UPGraph → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸))
14	13	com12 32	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸))
15	3, 14	sylbid 239	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸))
16	15	imp 406	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3058  {cpr 4631   class class class wbr 5148  dom cdm 5678  ⟶wf 6544  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  0cc0 11139  1c1 11140   + caddc 11142  ...cfz 13517  ..^cfzo 13660  ♯chash 14322  Word cword 14497  Vtxcvtx 28822  iEdgciedg 28823  Edgcedg 28873  UPGraphcupgr 28906  Walkscwlks 29423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-ifp 1062  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-dju 9925  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-n0 12504  df-xnn0 12576  df-z 12590  df-uz 12854  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-hash 14323  df-word 14498  df-edg 28874  df-uhgr 28884  df-upgr 28908  df-wlks 29426

This theorem is referenced by:  umgrwlknloop  29476  wlknewwlksn  29711  upgr3v3e3cycl  30003  upgr4cycl4dv4e  30008

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »