Theorem xnegneg 13223

Description: Extended real version of negneg 11538. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xnegneg	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)

Proof of Theorem xnegneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxr 13126	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2		rexneg 13220	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 = -𝐴)
3		xnegeq 13216	. . . . 5 ⊢ (-𝑒𝐴 = -𝐴 → -𝑒-𝑒𝐴 = -𝑒-𝐴)
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒-𝑒𝐴 = -𝑒-𝐴)
5		renegcl 11551	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
6		rexneg 13220	. . . . 5 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ → -𝑒-𝐴 = --𝐴)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒-𝐴 = --𝐴)
8		recn 11226	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
9	8	negnegd 11590	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → --𝐴 = 𝐴)
10	4, 7, 9	3eqtrd 2769	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)
11		xnegmnf 13219	. . . 4 ⊢ -𝑒-∞ = +∞
12		xnegeq 13216	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = +∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒+∞)
13		xnegpnf 13218	. . . . . 6 ⊢ -𝑒+∞ = -∞
14	12, 13	eqtrdi 2781	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = +∞ → -𝑒𝐴 = -∞)
15		xnegeq 13216	. . . . 5 ⊢ (-𝑒𝐴 = -∞ → -𝑒-𝑒𝐴 = -𝑒-∞)
16	14, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → -𝑒-𝑒𝐴 = -𝑒-∞)
17		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → 𝐴 = +∞)
18	11, 16, 17	3eqtr4a 2791	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)
19		xnegeq 13216	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒-∞)
20	19, 11	eqtrdi 2781	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = +∞)
21		xnegeq 13216	. . . . 5 ⊢ (-𝑒𝐴 = +∞ → -𝑒-𝑒𝐴 = -𝑒+∞)
22	20, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → -𝑒-𝑒𝐴 = -𝑒+∞)
23		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → 𝐴 = -∞)
24	13, 22, 23	3eqtr4a 2791	. . 3 ⊢ (𝐴 = -∞ → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)
25	10, 18, 24	3jaoi 1424	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)
26	1, 25	sylbi 216	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ℝcr 11135  +∞cpnf 11273  -∞cmnf 11274  ℝ^*cxr 11275  -cneg 11473  -_𝑒cxne 13119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5568  df-po 5582  df-so 5583  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-sub 11474  df-neg 11475  df-xneg 13122

This theorem is referenced by:  xneg11  13224  xltneg  13226  xnegdi  13257  xnpcan  13261  xposdif  13271  xrsxmet  24741  xrhmeo  24887  xaddeq0  32540  xrge0npcan  32767  carsgclctunlem2  33968  xnegnegi  44856  xnegnegd  44859  xnegrecl2  44877  supminfxr2  44886  supminfxrrnmpt  44888  xlenegcon1  44904  xlenegcon2  44905

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »