Theorem 2lgslem1b 27343

Description: Lemma 2 for 2lgslem1 27345. (Contributed by AV, 18-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
2lgslem1b.i	⊢ 𝐼 = (𝐴...𝐵)
2lgslem1b.f	⊢ 𝐹 = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑗 · 2))

Assertion

Ref	Expression
2lgslem1b	⊢ 𝐹:𝐼–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)}

Distinct variable group:   𝑖,𝐼,𝑗,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑖,𝑗)   𝐵(𝑥,𝑖,𝑗)   𝐹(𝑥,𝑖,𝑗)

Proof of Theorem 2lgslem1b

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lgslem1b.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑗 · 2))
2		eqeq1 2729	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑗 · 2) → (𝑥 = (𝑖 · 2) ↔ (𝑗 · 2) = (𝑖 · 2)))
3	2	rexbidv 3169	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑗 · 2) → (∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2) ↔ ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑗 · 2) = (𝑖 · 2)))
4		elfzelz 13533	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (𝐴...𝐵) → 𝑗 ∈ ℤ)
5		2lgslem1b.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (𝐴...𝐵)
6	4, 5	eleq2s 2843	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐼 → 𝑗 ∈ ℤ)
7		2z 12624	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐼 → 2 ∈ ℤ)
9	6, 8	zmulcld 12702	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐼 → (𝑗 · 2) ∈ ℤ)
10		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐼 → 𝑗 ∈ 𝐼)
11		oveq1 7423	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 · 2) = (𝑗 · 2))
12	11	eqeq2d 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝑗 · 2) = (𝑖 · 2) ↔ (𝑗 · 2) = (𝑗 · 2)))
13	12	adantl 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝐼 ∧ 𝑖 = 𝑗) → ((𝑗 · 2) = (𝑖 · 2) ↔ (𝑗 · 2) = (𝑗 · 2)))
14		eqidd 2726	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐼 → (𝑗 · 2) = (𝑗 · 2))
15	10, 13, 14	rspcedvd 3603	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐼 → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑗 · 2) = (𝑖 · 2))
16	3, 9, 15	elrabd 3676	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐼 → (𝑗 · 2) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)})
17	1, 16	fmpti 7117	. . 3 ⊢ 𝐹:𝐼⟶{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)}
18		oveq1 7423	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑦 → (𝑗 · 2) = (𝑦 · 2))
19		simpl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → 𝑦 ∈ 𝐼)
20		ovexd 7451	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝑦 · 2) ∈ V)
21	1, 18, 19, 20	fvmptd3 7023	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑦) = (𝑦 · 2))
22		oveq1 7423	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑧 → (𝑗 · 2) = (𝑧 · 2))
23		simpr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → 𝑧 ∈ 𝐼)
24		ovexd 7451	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝑧 · 2) ∈ V)
25	1, 22, 23, 24	fvmptd3 7023	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑧) = (𝑧 · 2))
26	21, 25	eqeq12d 2741	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) ↔ (𝑦 · 2) = (𝑧 · 2)))
27		elfzelz 13533	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) → 𝑦 ∈ ℤ)
28	27, 5	eleq2s 2843	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼 → 𝑦 ∈ ℤ)
29	28	zcnd 12697	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼 → 𝑦 ∈ ℂ)
30	29	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → 𝑦 ∈ ℂ)
31		elfzelz 13533	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴...𝐵) → 𝑧 ∈ ℤ)
32	31, 5	eleq2s 2843	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐼 → 𝑧 ∈ ℤ)
33	32	zcnd 12697	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐼 → 𝑧 ∈ ℂ)
34	33	adantl 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → 𝑧 ∈ ℂ)
35		2cnd 12320	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → 2 ∈ ℂ)
36		2ne0 12346	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
37	36	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → 2 ≠ 0)
38	30, 34, 35, 37	mulcan2d 11878	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → ((𝑦 · 2) = (𝑧 · 2) ↔ 𝑦 = 𝑧))
39	38	biimpd 228	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → ((𝑦 · 2) = (𝑧 · 2) → 𝑦 = 𝑧))
40	26, 39	sylbid 239	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
41	40	rgen2 3188	. . 3 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝐼 ∀𝑧 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)
42		dff13 7261	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐼–1-1→{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)} ↔ (𝐹:𝐼⟶{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)} ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 ∀𝑧 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
43	17, 41, 42	mpbir2an 709	. 2 ⊢ 𝐹:𝐼–1-1→{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)}
44		oveq1 7423	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 · 2) = (𝑖 · 2))
45	44	eqeq2d 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑥 = (𝑗 · 2) ↔ 𝑥 = (𝑖 · 2)))
46	45	cbvrexvw 3226	. . . . 5 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑗 · 2) ↔ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2))
47		elfzelz 13533	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (𝐴...𝐵) → 𝑖 ∈ ℤ)
48	7	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (𝐴...𝐵) → 2 ∈ ℤ)
49	47, 48	zmulcld 12702	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ (𝐴...𝐵) → (𝑖 · 2) ∈ ℤ)
50	49, 5	eleq2s 2843	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ 𝐼 → (𝑖 · 2) ∈ ℤ)
51		eleq1 2813	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑖 · 2) → (𝑥 ∈ ℤ ↔ (𝑖 · 2) ∈ ℤ))
52	50, 51	syl5ibrcom 246	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ 𝐼 → (𝑥 = (𝑖 · 2) → 𝑥 ∈ ℤ))
53	52	rexlimiv 3138	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2) → 𝑥 ∈ ℤ)
54	53	pm4.71ri 559	. . . . 5 ⊢ (∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)))
55	46, 54	bitri 274	. . . 4 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑗 · 2) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)))
56	55	abbii 2795	. . 3 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑗 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑗 · 2)} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2))}
57	1	rnmpt 5951	. . 3 ⊢ ran 𝐹 = {𝑥 ∣ ∃𝑗 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑗 · 2)}
58		df-rab 3420	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2))}
59	56, 57, 58	3eqtr4i 2763	. 2 ⊢ ran 𝐹 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)}
60		dff1o5 6843	. 2 ⊢ (𝐹:𝐼–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)} ↔ (𝐹:𝐼–1-1→{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)} ∧ ran 𝐹 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)}))
61	43, 59, 60	mpbir2an 709	1 ⊢ 𝐹:𝐼–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)}

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2702   ≠ wne 2930  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  {crab 3419  Vcvv 3463   ↦ cmpt 5226  ran crn 5673  ⟶wf 6539  –1-1→wf1 6540  –1-1-onto→wf1o 6542  ‘cfv 6543  (class class class)co 7416  ℂcc 11136  0cc0 11138   · cmul 11143  2c2 12297  ℤcz 12588  ...cfz 13516

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517

This theorem is referenced by:  2lgslem1  27345

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