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Theorem bpos1 27215

Description: Bertrand's postulate, checked numerically for 𝑁 ≤ 64, using the prime sequence 2, 3, 5, 7, 13, 23, 43, 83. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Sep-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
bpos1	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ ;64) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))

Distinct variable group: 𝑁,𝑝

**Proof of Theorem bpos1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnnuz 12896	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘1))
2		ax-1 6	. . . 4 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)) → (𝑁 ≤ ;64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
3		6nn0 12523	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 6 ∈ ℕ₀
4		4nn0 12521	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 4 ∈ ℕ₀
5	3, 4	deccl 12722	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ;64 ∈ ℕ₀
6	5	nn0rei 12513	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;64 ∈ ℝ
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘;83) → ;64 ∈ ℝ)
8		8nn0 12525	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 8 ∈ ℕ₀
9		3nn0 12520	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 3 ∈ ℕ₀
10	8, 9	deccl 12722	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ;83 ∈ ℕ₀
11	10	nn0rei 12513	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;83 ∈ ℝ
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘;83) → ;83 ∈ ℝ)
13		eluzelre 12863	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘;83) → 𝑁 ∈ ℝ)
14		4lt10 12843	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 4 < ;10
15		6lt8 12435	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 6 < 8
16	3, 8, 4, 9, 14, 15	decltc 12736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;64 < ;83
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘;83) → ;64 < ;83)
18		eluzle 12865	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘;83) → ;83 ≤ 𝑁)
19	7, 12, 13, 17, 18	ltletrd 11404	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘;83) → ;64 < 𝑁)
20		ltnle 11323	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((;64 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (;64 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 ≤ ;64))
21	6, 13, 20	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘;83) → (;64 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 ≤ ;64))
22	19, 21	mpbid 231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘;83) → ¬ 𝑁 ≤ ;64)
23	22	pm2.21d 121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘;83) → (𝑁 ≤ ;64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
24		83prm 17091	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;83 ∈ ℙ
25	4, 9	deccl 12722	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;43 ∈ ℕ₀
26		2nn0 12519	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
27		eqid 2728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;43 = ;43
28		4t2e8 12410	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 · 2) = 8
29		3t2e6 12408	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3 · 2) = 6
30	26, 4, 9, 27, 28, 29	decmul1 12771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;43 · 2) = ;86
31		3lt10 12844	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 < ;10
32		4lt8 12437	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 < 8
33	4, 8, 9, 9, 31, 32	decltc 12736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;43 < ;83
34		6nn 12331	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 6 ∈ ℕ
35		3lt6 12425	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 < 6
36	8, 9, 34, 35	declt 12735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;83 < ;86
37	36	orci 864	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;83 < ;86 ∨ ;83 = ;86)
38	2, 23, 24, 25, 30, 33, 37	bpos1lem 27214	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘;43) → (𝑁 ≤ ;64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
39		43prm 17090	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;43 ∈ ℙ
40	26, 9	deccl 12722	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;23 ∈ ℕ₀
41		eqid 2728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;23 = ;23
42		2t2e4 12406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · 2) = 4
43	26, 26, 9, 41, 42, 29	decmul1 12771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;23 · 2) = ;46
44		2lt4 12417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 < 4
45	26, 4, 9, 9, 31, 44	decltc 12736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;23 < ;43
46	4, 9, 34, 35	declt 12735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;43 < ;46
47	46	orci 864	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;43 < ;46 ∨ ;43 = ;46)
48	2, 38, 39, 40, 43, 45, 47	bpos1lem 27214	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘;23) → (𝑁 ≤ ;64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
49		23prm 17087	. . . . . . . . 9 ⊢ ;23 ∈ ℙ
50		1nn0 12518	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
51	50, 9	deccl 12722	. . . . . . . . 9 ⊢ ;13 ∈ ℕ₀
52		eqid 2728	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;13 = ;13
53		2cn 12317	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
54	53	mullidi 11249	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · 2) = 2
55	26, 50, 9, 52, 54, 29	decmul1 12771	. . . . . . . . 9 ⊢ (;13 · 2) = ;26
56		1lt2 12413	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 < 2
57	50, 26, 9, 9, 31, 56	decltc 12736	. . . . . . . . 9 ⊢ ;13 < ;23
58	26, 9, 34, 35	declt 12735	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;23 < ;26
59	58	orci 864	. . . . . . . . 9 ⊢ (;23 < ;26 ∨ ;23 = ;26)
60	2, 48, 49, 51, 55, 57, 59	bpos1lem 27214	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘;13) → (𝑁 ≤ ;64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
61		13prm 17084	. . . . . . . 8 ⊢ ;13 ∈ ℙ
62		7nn0 12524	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℕ₀
63		7t2e14 12816	. . . . . . . 8 ⊢ (7 · 2) = ;14
64		1nn 12253	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
65		7lt10 12840	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 < ;10
66	64, 9, 62, 65	declti 12745	. . . . . . . 8 ⊢ 7 < ;13
67		4nn 12325	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℕ
68		3lt4 12416	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 < 4
69	50, 9, 67, 68	declt 12735	. . . . . . . . 9 ⊢ ;13 < ;14
70	69	orci 864	. . . . . . . 8 ⊢ (;13 < ;14 ∨ ;13 = ;14)
71	2, 60, 61, 62, 63, 66, 70	bpos1lem 27214	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘7) → (𝑁 ≤ ;64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
72		7prm 17079	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℙ
73		5nn0 12522	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ₀
74		5t2e10 12807	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 2) = ;10
75		5lt7 12429	. . . . . . 7 ⊢ 5 < 7
76	65	orci 864	. . . . . . 7 ⊢ (7 < ;10 ∨ 7 = ;10)
77	2, 71, 72, 73, 74, 75, 76	bpos1lem 27214	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) → (𝑁 ≤ ;64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
78		5prm 17077	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℙ
79		3lt5 12420	. . . . . 6 ⊢ 3 < 5
80		5lt6 12423	. . . . . . 7 ⊢ 5 < 6
81	80	orci 864	. . . . . 6 ⊢ (5 < 6 ∨ 5 = 6)
82	2, 77, 78, 9, 29, 79, 81	bpos1lem 27214	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑁 ≤ ;64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
83		3prm 16664	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℙ
84		2lt3 12414	. . . . 5 ⊢ 2 < 3
85	68	orci 864	. . . . 5 ⊢ (3 < 4 ∨ 3 = 4)
86	2, 82, 83, 26, 42, 84, 85	bpos1lem 27214	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝑁 ≤ ;64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
87		2prm 16662	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℙ
88		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ 2 = 2
89	88	olci 865	. . . 4 ⊢ (2 < 2 ∨ 2 = 2)
90	2, 86, 87, 50, 54, 56, 89	bpos1lem 27214	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘1) → (𝑁 ≤ ;64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
91	1, 90	sylbi 216	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ ;64 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))))
92	91	imp 406	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ ;64) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 395 = wceq 1534 ∈ wcel 2099 ∃wrex 3067 class class class wbr 5148 ‘cfv 6548 (class class class)co 7420 ℝcr 11137 0cc0 11138 1c1 11139 · cmul 11143 < clt 11278 ≤ cle 11279 ℕcn 12242 2c2 12297 3c3 12298 4c4 12299 5c5 12300 6c6 12301 7c7 12302 8c8 12303 cdc 12707 ℤ_≥cuz 12852 ℙcprime 16641

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2167 ax-ext 2699 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5365 ax-pr 5429 ax-un 7740 ax-cnex 11194 ax-resscn 11195 ax-1cn 11196 ax-icn 11197 ax-addcl 11198 ax-addrcl 11199 ax-mulcl 11200 ax-mulrcl 11201 ax-mulcom 11202 ax-addass 11203 ax-mulass 11204 ax-distr 11205 ax-i2m1 11206 ax-1ne0 11207 ax-1rid 11208 ax-rnegex 11209 ax-rrecex 11210 ax-cnre 11211 ax-pre-lttri 11212 ax-pre-lttrn 11213 ax-pre-ltadd 11214 ax-pre-mulgt0 11215 ax-pre-sup 11216

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2530 df-eu 2559 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rmo 3373 df-reu 3374 df-rab 3430 df-v 3473 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3966 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4909 df-iun 4998 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5576 df-eprel 5582 df-po 5590 df-so 5591 df-fr 5633 df-we 5635 df-xp 5684 df-rel 5685 df-cnv 5686 df-co 5687 df-dm 5688 df-rn 5689 df-res 5690 df-ima 5691 df-pred 6305 df-ord 6372 df-on 6373 df-lim 6374 df-suc 6375 df-iota 6500 df-fun 6550 df-fn 6551 df-f 6552 df-f1 6553 df-fo 6554 df-f1o 6555 df-fv 6556 df-riota 7376 df-ov 7423 df-oprab 7424 df-mpo 7425 df-om 7871 df-1st 7993 df-2nd 7994 df-frecs 8286 df-wrecs 8317 df-recs 8391 df-rdg 8430 df-1o 8486 df-2o 8487 df-er 8724 df-en 8964 df-dom 8965 df-sdom 8966 df-fin 8967 df-sup 9465 df-inf 9466 df-pnf 11280 df-mnf 11281 df-xr 11282 df-ltxr 11283 df-le 11284 df-sub 11476 df-neg 11477 df-div 11902 df-nn 12243 df-2 12305 df-3 12306 df-4 12307 df-5 12308 df-6 12309 df-7 12310 df-8 12311 df-9 12312 df-n0 12503 df-z 12589 df-dec 12708 df-uz 12853 df-rp 13007 df-fz 13517 df-seq 13999 df-exp 14059 df-cj 15078 df-re 15079 df-im 15080 df-sqrt 15214 df-abs 15215 df-dvds 16231 df-prm 16642

This theorem is referenced by: bpos 27225

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