Theorem catchom 18091

Description: Set of arrows of the category of categories (in a universe). (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
catcbas.c	⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
catcbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
catcbas.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
catchomfval.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
catchom.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
catchom.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
catchom	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐻𝑌) = (𝑋 Func 𝑌))

Proof of Theorem catchom

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		catcbas.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
2		catcbas.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
3		catcbas.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
4		catchomfval.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
5	1, 2, 3, 4	catchomfval 18090	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 Func 𝑦)))
6		oveq12 7429	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → (𝑥 Func 𝑦) = (𝑋 Func 𝑌))
7	6	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → (𝑥 Func 𝑦) = (𝑋 Func 𝑌))
8		catchom.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9		catchom.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
10		ovexd 7455	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 Func 𝑌) ∈ V)
11	5, 7, 8, 9, 10	ovmpod 7573	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐻𝑌) = (𝑋 Func 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3471  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17179  Hom chom 17243   Func cfunc 17839  CatCatccatc 18086

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-hom 17256  df-cco 17257  df-catc 18087

This theorem is referenced by:  catccatid  18094  resscatc  18097  catcisolem  18098  catciso  18099

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »