Theorem ccfldsrarelvec 33557

Description: The subring algebra of the complex numbers over the real numbers is a left vector space. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
ccfldsrarelvec	⊢ ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) ∈ LVec

Proof of Theorem ccfldsrarelvec

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnring 21382	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ Ring
2		ax-resscn 11215	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
3		eqidd 2727	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) = ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
4	3	mptru 1541	. . . . . 6 ⊢ ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) = ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ)
5		cnfldbas 21347	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
6	4, 5	sraring 21172	. . . . 5 ⊢ ((ℂfld ∈ Ring ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) ∈ Ring)
7	1, 2, 6	mp2an 690	. . . 4 ⊢ ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) ∈ Ring
8		ringgrp 20221	. . . 4 ⊢ (((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) ∈ Ring → ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) ∈ Grp)
9	7, 8	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) ∈ Grp
10		refld 21615	. . . . . 6 ⊢ ℝfld ∈ Field
11		isfld 20718	. . . . . 6 ⊢ (ℝfld ∈ Field ↔ (ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing))
12	10, 11	mpbi 229	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing)
13	12	simpli 482	. . . 4 ⊢ ℝfld ∈ DivRing
14		drngring 20714	. . . 4 ⊢ (ℝfld ∈ DivRing → ℝfld ∈ Ring)
15	13, 14	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ℝfld ∈ Ring
16		simpr1 1191	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → 𝑏 ∈ ℝ)
17	16	recnd 11292	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → 𝑏 ∈ ℂ)
18		simpr3 1193	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
19	17, 18	mulcld 11284	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑏 · 𝑦) ∈ ℂ)
20		simpr2 1192	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
21	17, 18, 20	adddid 11288	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑏 · (𝑦 + 𝑥)) = ((𝑏 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑥)))
22		simpl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → 𝑎 ∈ ℝ)
23	22	recnd 11292	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → 𝑎 ∈ ℂ)
24	23, 17, 18	adddird 11289	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((𝑎 + 𝑏) · 𝑦) = ((𝑎 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑦)))
25	19, 21, 24	3jca 1125	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((𝑏 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ (𝑏 · (𝑦 + 𝑥)) = ((𝑏 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑥)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑦) = ((𝑎 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑦))))
26	23, 17, 18	mulassd 11287	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((𝑎 · 𝑏) · 𝑦) = (𝑎 · (𝑏 · 𝑦)))
27	18	mullidd 11282	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (1 · 𝑦) = 𝑦)
28	25, 26, 27	jca32 514	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (((𝑏 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ (𝑏 · (𝑦 + 𝑥)) = ((𝑏 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑥)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑦) = ((𝑎 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑦))) ∧ (((𝑎 · 𝑏) · 𝑦) = (𝑎 · (𝑏 · 𝑦)) ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦)))
29	28	ralrimivvva 3194	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → ∀𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (((𝑏 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ (𝑏 · (𝑦 + 𝑥)) = ((𝑏 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑥)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑦) = ((𝑎 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑦))) ∧ (((𝑎 · 𝑏) · 𝑦) = (𝑎 · (𝑏 · 𝑦)) ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦)))
30	29	rgen 3053	. . 3 ⊢ ∀𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (((𝑏 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ (𝑏 · (𝑦 + 𝑥)) = ((𝑏 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑥)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑦) = ((𝑎 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑦))) ∧ (((𝑎 · 𝑏) · 𝑦) = (𝑎 · (𝑏 · 𝑦)) ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦))
31	2, 5	sseqtri 4016	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ (Base‘ℂfld)
32	31	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ℝ ⊆ (Base‘ℂfld))
33	3, 32	srabase 21156	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (Base‘ℂfld) = (Base‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ)))
34	33	mptru 1541	. . . . 5 ⊢ (Base‘ℂfld) = (Base‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
35	5, 34	eqtri 2754	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
36		cnfldadd 21349	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
37	3, 32	sraaddg 21158	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (+g‘ℂfld) = (+g‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ)))
38	37	mptru 1541	. . . . 5 ⊢ (+g‘ℂfld) = (+g‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
39	36, 38	eqtri 2754	. . . 4 ⊢ + = (+g‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
40		cnfldmul 21351	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
41	3, 32	sravsca 21164	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (.r‘ℂfld) = ( ·𝑠 ‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ)))
42	41	mptru 1541	. . . . 5 ⊢ (.r‘ℂfld) = ( ·𝑠 ‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
43	40, 42	eqtri 2754	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
44		df-refld 21601	. . . . 5 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
45	3, 32	srasca 21162	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (ℂfld ↾s ℝ) = (Scalar‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ)))
46	45	mptru 1541	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ↾s ℝ) = (Scalar‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
47	44, 46	eqtri 2754	. . . 4 ⊢ ℝfld = (Scalar‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
48		rebase 21602	. . . 4 ⊢ ℝ = (Base‘ℝfld)
49		replusg 21606	. . . 4 ⊢ + = (+g‘ℝfld)
50		remulr 21607	. . . 4 ⊢ · = (.r‘ℝfld)
51		re1r 21609	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘ℝfld)
52	35, 39, 43, 47, 48, 49, 50, 51	islmod 20840	. . 3 ⊢ (((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) ∈ LMod ↔ (((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) ∈ Grp ∧ ℝfld ∈ Ring ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (((𝑏 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ (𝑏 · (𝑦 + 𝑥)) = ((𝑏 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑥)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑦) = ((𝑎 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑦))) ∧ (((𝑎 · 𝑏) · 𝑦) = (𝑎 · (𝑏 · 𝑦)) ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦))))
53	9, 15, 30, 52	mpbir3an 1338	. 2 ⊢ ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) ∈ LMod
54	47	islvec 21082	. 2 ⊢ (((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) ∈ LVec ↔ (((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) ∈ LMod ∧ ℝfld ∈ DivRing))
55	53, 13, 54	mpbir2an 709	1 ⊢ ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) ∈ LVec

Syntax hints:   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1534  ⊤wtru 1535   ∈ wcel 2099  ∀wral 3051   ⊆ wss 3947  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424  ℂcc 11156  ℝcr 11157  1c1 11159   + caddc 11161   · cmul 11163  Basecbs 17213   ↾_s cress 17242  +_gcplusg 17266  ._rcmulr 17267  Scalarcsca 17269   ·_𝑠 cvsca 17270  Grpcgrp 18928  Ringcrg 20216  CRingccrg 20217  DivRingcdr 20707  Fieldcfield 20708  LModclmod 20836  LVecclvec 21080  subringAlg csra 21149  ℂ_fldccnfld 21343  ℝ_fldcrefld 21600

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-addf 11237  ax-mulf 11238

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-tpos 8241  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-fz 13539  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-starv 17281  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-ip 17284  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-unif 17289  df-0g 17456  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-grp 18931  df-minusg 18932  df-subg 19117  df-cmn 19780  df-abl 19781  df-mgp 20118  df-rng 20136  df-ur 20165  df-ring 20218  df-cring 20219  df-oppr 20316  df-dvdsr 20339  df-unit 20340  df-invr 20370  df-dvr 20383  df-subrng 20528  df-subrg 20553  df-drng 20709  df-field 20710  df-lmod 20838  df-lvec 21081  df-sra 21151  df-cnfld 21344  df-refld 21601

This theorem is referenced by:  ccfldextdgrr  33558

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »