MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cycsubg2cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycsubg2cl 19170
Description: Any multiple of an element is contained in the generated cyclic subgroup. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cycsubg2cl.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
cycsubg2cl.t · = (.g𝐺)
cycsubg2cl.k 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
Assertion
Ref Expression
cycsubg2cl ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝐴) ∈ (𝐾‘{𝐴}))

Proof of Theorem cycsubg2cl
StepHypRef Expression
1 cycsubg2cl.x . . . . . 6 𝑋 = (Base‘𝐺)
21subgacs 19120 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝑋))
32acsmred 17635 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝑋))
433ad2ant1 1130 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝑋))
5 simp2 1134 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴𝑋)
65snssd 4808 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) → {𝐴} ⊆ 𝑋)
7 cycsubg2cl.k . . . 4 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
87mrccl 17590 . . 3 (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝑋) ∧ {𝐴} ⊆ 𝑋) → (𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
94, 6, 8syl2anc 582 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
10 simp3 1135 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
114, 7, 6mrcssidd 17604 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) → {𝐴} ⊆ (𝐾‘{𝐴}))
12 snssg 4783 . . . 4 (𝐴𝑋 → (𝐴 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ↔ {𝐴} ⊆ (𝐾‘{𝐴})))
13123ad2ant2 1131 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ↔ {𝐴} ⊆ (𝐾‘{𝐴})))
1411, 13mpbird 256 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ (𝐾‘{𝐴}))
15 cycsubg2cl.t . . 3 · = (.g𝐺)
1615subgmulgcl 19098 . 2 (((𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐾‘{𝐴})) → (𝑁 · 𝐴) ∈ (𝐾‘{𝐴}))
179, 10, 14, 16syl3anc 1368 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝐴) ∈ (𝐾‘{𝐴}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wss 3939  {csn 4624  cfv 6543  (class class class)co 7416  cz 12588  Basecbs 17179  Moorecmre 17561  mrClscmrc 17562  Grpcgrp 18894  .gcmg 19027  SubGrpcsubg 19079
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-seq 13999  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-0g 17422  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-mulg 19028  df-subg 19082
This theorem is referenced by:  odngen  19536
  Copyright terms: Public domain W3C validator
OSZAR »