Theorem divalglem7 16383

Description: Lemma for divalg 16387. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
divalglem7.1	⊢ 𝐷 ∈ ℤ
divalglem7.2	⊢ 𝐷 ≠ 0

Assertion

Ref	Expression
divalglem7	⊢ ((𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ≠ 0 → ¬ (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))))

Proof of Theorem divalglem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7433	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) → (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) = (if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) + (𝐾 · (abs‘𝐷))))
2	1	eleq1d 2814	. . . 4 ⊢ (𝑋 = if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) → ((𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)) ↔ (if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))))
3	2	notbid 317	. . 3 ⊢ (𝑋 = if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) → (¬ (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)) ↔ ¬ (if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))))
4	3	imbi2d 339	. 2 ⊢ (𝑋 = if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) → ((𝐾 ≠ 0 → ¬ (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))) ↔ (𝐾 ≠ 0 → ¬ (if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)))))
5		neeq1 3000	. . 3 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → (𝐾 ≠ 0 ↔ if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) ≠ 0))
6		oveq1 7433	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → (𝐾 · (abs‘𝐷)) = (if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · (abs‘𝐷)))
7	6	oveq2d 7442	. . . . 5 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → (if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) + (𝐾 · (abs‘𝐷))) = (if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) + (if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · (abs‘𝐷))))
8	7	eleq1d 2814	. . . 4 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → ((if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)) ↔ (if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) + (if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))))
9	8	notbid 317	. . 3 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → (¬ (if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)) ↔ ¬ (if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) + (if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))))
10	5, 9	imbi12d 343	. 2 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → ((𝐾 ≠ 0 → ¬ (if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))) ↔ (if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) ≠ 0 → ¬ (if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) + (if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)))))
11		divalglem7.1	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ ℤ
12		divalglem7.2	. . . 4 ⊢ 𝐷 ≠ 0
13		nnabscl 15312	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (abs‘𝐷) ∈ ℕ)
14	11, 12, 13	mp2an 690	. . 3 ⊢ (abs‘𝐷) ∈ ℕ
15		0z 12607	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
16		0le0 12351	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 0
17	14	nngt0i 12289	. . . . 5 ⊢ 0 < (abs‘𝐷)
18	14	nnzi 12624	. . . . . 6 ⊢ (abs‘𝐷) ∈ ℤ
19		elfzm11 13612	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐷) ∈ ℤ) → (0 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 < (abs‘𝐷))))
20	15, 18, 19	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 < (abs‘𝐷)))
21	15, 16, 17, 20	mpbir3an 1338	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))
22	21	elimel 4601	. . 3 ⊢ if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))
23	15	elimel 4601	. . 3 ⊢ if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) ∈ ℤ
24	14, 22, 23	divalglem6 16382	. 2 ⊢ (if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) ≠ 0 → ¬ (if(𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)), 𝑋, 0) + (if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)))
25	4, 10, 24	dedth2h 4591	1 ⊢ ((𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ≠ 0 → ¬ (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2937  ifcif 4532   class class class wbr 5152  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149   · cmul 11151   < clt 11286   ≤ cle 11287   − cmin 11482  ℕcn 12250  ℤcz 12596  ...cfz 13524  abscabs 15221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-sup 9473  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fz 13525  df-seq 14007  df-exp 14067  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223

This theorem is referenced by:  divalglem8  16384

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »