Theorem dvhlvec 40576

Description: The full vector space 𝑈 constructed from a Hilbert lattice 𝐾 (given a fiducial hyperplane 𝑊) is a left module. (Contributed by NM, 23-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvhlvec.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvhlvec.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvhlvec.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
dvhlvec	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)

Proof of Theorem dvhlvec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvhlvec.k	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		eqid 2728	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		dvhlvec.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		eqid 2728	. . 3 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5		eqid 2728	. . 3 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
6		dvhlvec.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7		eqid 2728	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
8		eqid 2728	. . 3 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑈)) = (+g‘(Scalar‘𝑈))
9		eqid 2728	. . 3 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
10		eqid 2728	. . 3 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑈)) = (0g‘(Scalar‘𝑈))
11		eqid 2728	. . 3 ⊢ (invg‘(Scalar‘𝑈)) = (invg‘(Scalar‘𝑈))
12		eqid 2728	. . 3 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝑈)) = (.r‘(Scalar‘𝑈))
13		eqid 2728	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
14	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	dvhlveclem 40575	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ LVec)
15	1, 14	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6542  Basecbs 17173  +_gcplusg 17226  ._rcmulr 17227  Scalarcsca 17229   ·_𝑠 cvsca 17230  0_gc0g 17414  inv_gcminusg 18884  LVecclvec 20980  HLchlt 38816  LHypclh 39451  LTrncltrn 39568  TEndoctendo 40219  DVecHcdvh 40545

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-riotaBAD 38419

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-undef 8272  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-fz 13511  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-0g 17416  df-proset 18280  df-poset 18298  df-plt 18315  df-lub 18331  df-glb 18332  df-join 18333  df-meet 18334  df-p0 18410  df-p1 18411  df-lat 18417  df-clat 18484  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-grp 18886  df-minusg 18887  df-cmn 19730  df-abl 19731  df-mgp 20068  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-oppr 20266  df-dvdsr 20289  df-unit 20290  df-invr 20320  df-dvr 20333  df-drng 20619  df-lmod 20738  df-lvec 20981  df-oposet 38642  df-ol 38644  df-oml 38645  df-covers 38732  df-ats 38733  df-atl 38764  df-cvlat 38788  df-hlat 38817  df-llines 38965  df-lplanes 38966  df-lvols 38967  df-lines 38968  df-psubsp 38970  df-pmap 38971  df-padd 39263  df-lhyp 39455  df-laut 39456  df-ldil 39571  df-ltrn 39572  df-trl 39626  df-tendo 40222  df-edring 40224  df-dvech 40546

This theorem is referenced by:  dvhlmod  40577  dih1dimatlem  40796  dihlspsnssN  40799  dihlspsnat  40800  dihpN  40803  dihlatat  40804  dochsat  40850  dochshpncl  40851  dochlkr  40852  dochkrshp  40853  dochkrshp3  40855  dvh2dimatN  40907  dvh3dim3N  40916  dochsatshp  40918  dochsatshpb  40919  dochexmidat  40926  dochexmidlem3  40929  dochsnkr  40939  dochsnkr2  40940  dochflcl  40942  dochfl1  40943  dochkr1  40945  dochkr1OLDN  40946  lcfl6lem  40965  lcfl7lem  40966  lcfl9a  40972  lclkrlem1  40973  lclkrlem2a  40974  lclkrlem2e  40978  lclkrlem2g  40980  lclkrlem2h  40981  lclkrlem2o  40988  lclkrlem2p  40989  lclkrlem2q  40990  lclkrlem2s  40992  lclkrlem2v  40995  lclkrslem1  41004  lcfrvalsnN  41008  lcfrlem16  41025  lcfrlem20  41029  lcfrlem25  41034  lcfrlem29  41038  lcfrlem31  41040  lcfrlem33  41042  lcfrlem35  41044  lcdlvec  41058  lcdlkreqN  41089  lcdlkreq2N  41090  mapdordlem2  41104  mapdsn3  41110  mapdrvallem2  41112  mapdcnvatN  41133  mapdat  41134  mapdpglem10  41148  mapdpglem15  41153  mapdpglem17N  41155  mapdpglem18  41156  mapdpglem19  41157  mapdpglem21  41159  mapdpglem22  41160  mapdheq4lem  41198  mapdheq4  41199  mapdh6lem1N  41200  mapdh6lem2N  41201  mapdh6aN  41202  mapdh6b0N  41203  mapdh6bN  41204  mapdh6cN  41205  mapdh6dN  41206  mapdh6eN  41207  mapdh6fN  41208  mapdh6hN  41210  mapdh7eN  41215  mapdh7dN  41217  mapdh7fN  41218  mapdh75fN  41222  mapdh8aa  41243  mapdh8ab  41244  mapdh8ad  41246  mapdh8b  41247  mapdh8c  41248  mapdh8d0N  41249  mapdh8d  41250  mapdh8e  41251  mapdh9a  41256  mapdh9aOLDN  41257  hdmap1eq4N  41273  hdmap1l6lem1  41274  hdmap1l6lem2  41275  hdmap1l6a  41276  hdmap1l6b0N  41277  hdmap1l6b  41278  hdmap1l6c  41279  hdmap1l6d  41280  hdmap1l6e  41281  hdmap1l6f  41282  hdmap1l6h  41284  hdmap1eulemOLDN  41290  hdmapval0  41300  hdmapval3lemN  41304  hdmap10lem  41306  hdmap11lem1  41308  hdmap11lem2  41309  hdmaprnlem4N  41320  hdmaprnlem3eN  41325  hdmap14lem1a  41333  hdmap14lem4a  41338  hdmap14lem11  41345  hgmap11  41369  hdmaplkr  41380  hdmapip1  41383  hgmapvvlem1  41390  hgmapvvlem2  41391  hgmapvvlem3  41392  hlhillvec  41422

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »