Theorem fnmpoi 8074

Description: Functionality and domain of a class given by the maps-to notation. (Contributed by FL, 17-May-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmpo.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
fnmpoi.2	⊢ 𝐶 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fnmpoi	⊢ 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem fnmpoi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnmpoi.2	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ V
2	1	rgen2w 3063	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ V
3		fmpo.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
4	3	fnmpo 8073	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ V → 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵))
5	2, 4	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3058  Vcvv 3471   × cxp 5676   Fn wfn 6543   ∈ cmpo 7422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429  ax-un 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-fv 6556  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 7993  df-2nd 7994

This theorem is referenced by:  dmmpo  8075  fnoa  8529  fnom  8530  fnoe  8531  fnmap  8852  fnpm  8853  addpqnq  10962  mulpqnq  10965  mpoaddf  11233  mpomulf  11234  elq  12965  cnref1o  13000  ccatfn  14555  qnnen  16190  restfn  17406  prdsdsfn  17447  imasdsfn  17496  imasvscafn  17519  homffn  17673  comfffn  17684  comffn  17685  isoval  17748  cofucl  17874  fnfuc  17935  natffn  17939  catcisolem  18099  estrchomfn  18125  funcestrcsetclem4  18134  funcsetcestrclem4  18149  fnxpc  18167  1stfcl  18188  2ndfcl  18189  prfcl  18194  evlfcl  18214  curf1cl  18220  curfcl  18224  hofcl  18251  yonedalem3  18272  yonedainv  18273  plusffn  18609  mulgfval  19025  mulgfvalALT  19026  mulgfn  19028  gimfn  19215  sylow2blem2  19576  rnghmfn  20378  rhmfn  20438  rnghmsscmap2  20562  rnghmsscmap  20563  rhmsscmap2  20591  rhmsscmap  20592  srhmsubc  20613  rhmsubclem1  20618  fldc  20672  fldhmsubc  20673  scaffn  20766  lmimfn  20911  ipffn  21583  mplsubrglem  21946  tx1stc  23567  tx2ndc  23568  hmeofn  23674  efmndtmd  24018  qustgplem  24038  nmoffn  24641  rrxmfval  25347  mbfimaopnlem  25597  i1fadd  25637  i1fmul  25638  subsfn  27950  ex-fpar  30285  smatrcl  33397  txomap  33435  qtophaus  33437  pstmxmet  33498  dya2icoseg  33897  dya2iocrfn  33899  fncvm  34867  mpomulnzcnf  35783  cntotbnd  37269  grimfn  47163  rngchomffvalALTV  47340  rngchomrnghmresALTV  47341  rhmsubcALTVlem1  47343  funcringcsetcALTV2lem4  47355  funcringcsetclem4ALTV  47378  srhmsubcALTV  47387  fldcALTV  47394  fldhmsubcALTV  47395  rrx2xpref1o  47791  functhinclem1  48047

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »