Theorem mpomulnzcnf 35783

Description: Multiplication maps nonzero complex numbers to nonzero complex numbers. Version of mulnzcnf 11891 using maps-to notation, which does not require ax-mulf 11219. (Contributed by GG, 18-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
mpomulnzcnf	⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · 𝑦)):((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))⟶(ℂ ∖ {0})

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem mpomulnzcnf

Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2728	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · 𝑦)) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · 𝑦))
2		ovex 7453	. . 3 ⊢ (𝑥 · 𝑦) ∈ V
3	1, 2	fnmpoi 8074	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · 𝑦)) Fn ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))
4		oveq12 7429	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 𝑢 ∧ 𝑦 = 𝑣) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑢 · 𝑣))
5		ovex 7453	. . . . 5 ⊢ (𝑢 · 𝑣) ∈ V
6	4, 1, 5	ovmpoa 7576	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑢(𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) = (𝑢 · 𝑣))
7		eldifsn 4791	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ≠ 0))
8		eldifsn 4791	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ≠ 0))
9		mulcl 11223	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑢 · 𝑣) ∈ ℂ)
10	9	ad2ant2r 746	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ (𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ≠ 0)) → (𝑢 · 𝑣) ∈ ℂ)
11		mulne0 11887	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ (𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ≠ 0)) → (𝑢 · 𝑣) ≠ 0)
12	10, 11	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ (𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ≠ 0)) → ((𝑢 · 𝑣) ∈ ℂ ∧ (𝑢 · 𝑣) ≠ 0))
13	7, 8, 12	syl2anb 597	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑢 · 𝑣) ∈ ℂ ∧ (𝑢 · 𝑣) ≠ 0))
14		eldifsn 4791	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 · 𝑣) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝑢 · 𝑣) ∈ ℂ ∧ (𝑢 · 𝑣) ≠ 0))
15	13, 14	sylibr 233	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑢 · 𝑣) ∈ (ℂ ∖ {0}))
16	6, 15	eqeltrd 2829	. . 3 ⊢ ((𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑢(𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) ∈ (ℂ ∖ {0}))
17	16	rgen2 3194	. 2 ⊢ ∀𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})∀𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})(𝑢(𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) ∈ (ℂ ∖ {0})
18		ffnov 7547	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · 𝑦)):((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))⟶(ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · 𝑦)) Fn ((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0})) ∧ ∀𝑢 ∈ (ℂ ∖ {0})∀𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})(𝑢(𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) ∈ (ℂ ∖ {0})))
19	3, 17, 18	mpbir2an 710	1 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑥 · 𝑦)):((ℂ ∖ {0}) × (ℂ ∖ {0}))⟶(ℂ ∖ {0})

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2937  ∀wral 3058   ∖ cdif 3944  {csn 4629   × cxp 5676   Fn wfn 6543  ⟶wf 6544  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422  ℂcc 11137  0cc0 11139   · cmul 11144

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478

This theorem is referenced by: (None)

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »