Theorem gcdabsOLD 16501

Description: Obsolete version of gcdabs 16500 as of 15-Sep-2024. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
gcdabsOLD	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑁)) = (𝑀 gcd 𝑁))

Proof of Theorem gcdabsOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12587	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2		zre 12587	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
3		absor 15274	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → ((abs‘𝑀) = 𝑀 ∨ (abs‘𝑀) = -𝑀))
4		absor 15274	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((abs‘𝑁) = 𝑁 ∨ (abs‘𝑁) = -𝑁))
5	3, 4	anim12i 611	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((abs‘𝑀) = 𝑀 ∨ (abs‘𝑀) = -𝑀) ∧ ((abs‘𝑁) = 𝑁 ∨ (abs‘𝑁) = -𝑁)))
6	1, 2, 5	syl2an 594	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑀) = 𝑀 ∨ (abs‘𝑀) = -𝑀) ∧ ((abs‘𝑁) = 𝑁 ∨ (abs‘𝑁) = -𝑁)))
7		oveq12 7422	. . . 4 ⊢ (((abs‘𝑀) = 𝑀 ∧ (abs‘𝑁) = 𝑁) → ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑁)) = (𝑀 gcd 𝑁))
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑀) = 𝑀 ∧ (abs‘𝑁) = 𝑁) → ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑁)) = (𝑀 gcd 𝑁)))
9		oveq12 7422	. . . . 5 ⊢ (((abs‘𝑀) = -𝑀 ∧ (abs‘𝑁) = 𝑁) → ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑁)) = (-𝑀 gcd 𝑁))
10		neggcd 16492	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-𝑀 gcd 𝑁) = (𝑀 gcd 𝑁))
11	9, 10	sylan9eqr 2787	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((abs‘𝑀) = -𝑀 ∧ (abs‘𝑁) = 𝑁)) → ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑁)) = (𝑀 gcd 𝑁))
12	11	ex 411	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑀) = -𝑀 ∧ (abs‘𝑁) = 𝑁) → ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑁)) = (𝑀 gcd 𝑁)))
13		oveq12 7422	. . . . 5 ⊢ (((abs‘𝑀) = 𝑀 ∧ (abs‘𝑁) = -𝑁) → ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑁)) = (𝑀 gcd -𝑁))
14		gcdneg 16491	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd -𝑁) = (𝑀 gcd 𝑁))
15	13, 14	sylan9eqr 2787	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((abs‘𝑀) = 𝑀 ∧ (abs‘𝑁) = -𝑁)) → ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑁)) = (𝑀 gcd 𝑁))
16	15	ex 411	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑀) = 𝑀 ∧ (abs‘𝑁) = -𝑁) → ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑁)) = (𝑀 gcd 𝑁)))
17		oveq12 7422	. . . . 5 ⊢ (((abs‘𝑀) = -𝑀 ∧ (abs‘𝑁) = -𝑁) → ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑁)) = (-𝑀 gcd -𝑁))
18		znegcl 12622	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → -𝑀 ∈ ℤ)
19		gcdneg 16491	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-𝑀 gcd -𝑁) = (-𝑀 gcd 𝑁))
20	18, 19	sylan 578	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-𝑀 gcd -𝑁) = (-𝑀 gcd 𝑁))
21	20, 10	eqtrd 2765	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-𝑀 gcd -𝑁) = (𝑀 gcd 𝑁))
22	17, 21	sylan9eqr 2787	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((abs‘𝑀) = -𝑀 ∧ (abs‘𝑁) = -𝑁)) → ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑁)) = (𝑀 gcd 𝑁))
23	22	ex 411	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑀) = -𝑀 ∧ (abs‘𝑁) = -𝑁) → ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑁)) = (𝑀 gcd 𝑁)))
24	8, 12, 16, 23	ccased 1036	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((((abs‘𝑀) = 𝑀 ∨ (abs‘𝑀) = -𝑀) ∧ ((abs‘𝑁) = 𝑁 ∨ (abs‘𝑁) = -𝑁)) → ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑁)) = (𝑀 gcd 𝑁)))
25	6, 24	mpd 15	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑁)) = (𝑀 gcd 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6543  (class class class)co 7413  ℝcr 11132  -cneg 11470  ℤcz 12583  abscabs 15208   gcd cgcd 16463

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9460  df-inf 9461  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-rp 13002  df-seq 13994  df-exp 14054  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-dvds 16226  df-gcd 16464

This theorem is referenced by: (None)

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »