Theorem gsumsubgcl 19880

Description: Closure of a group sum in a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Dec-2014.) (Revised by AV, 3-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumsubgcl.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumsubgcl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
gsumsubgcl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumsubgcl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
gsumsubgcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
gsumsubgcl.w	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsumsubgcl	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem gsumsubgcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumsubgcl.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
2		gsumsubgcl.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
3		ablcmn 19747	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ CMnd)
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
5		gsumsubgcl.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		gsumsubgcl.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
7		subgsubm 19108	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
9		gsumsubgcl.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
10		gsumsubgcl.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
11	1, 4, 5, 8, 9, 10	gsumsubmcl 19879	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5150  ⟶wf 6547  ‘cfv 6551  (class class class)co 7424   finSupp cfsupp 9391  0_gc0g 17426   Σ_g cgsu 17427  SubMndcsubmnd 18744  SubGrpcsubg 19080  CMndccmn 19740  Abelcabl 19741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-isom 6560  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-supp 8170  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-fsupp 9392  df-oi 9539  df-card 9968  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-2 12311  df-n0 12509  df-z 12595  df-uz 12859  df-fz 13523  df-fzo 13666  df-seq 14005  df-hash 14328  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-ress 17215  df-plusg 17251  df-0g 17428  df-gsum 17429  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-submnd 18746  df-grp 18898  df-minusg 18899  df-subg 19083  df-cntz 19273  df-cmn 19742  df-abl 19743

This theorem is referenced by:  frlmsslsp  21735  mplbas2  21985  jensenlem2  26938  amgmlem  26940  fedgmullem2  33333  evls1fldgencl  33363  gsumlsscl  47498

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »