Theorem idomrcan 32967

Description: Right-cancellation law for integral domains. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
domncan.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
domncan.1	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
domncan.m	⊢ · = (.r‘𝑅)
domncan.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
domncan.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
domncan.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
domnrcan.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
domnrcan.2	⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝑋) = (𝑍 · 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
idomrcan	⊢ (𝜑 → 𝑌 = 𝑍)

Proof of Theorem idomrcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domncan.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		domncan.1	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		domncan.m	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4		domncan.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
5		domncan.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		domncan.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
7		domnrcan.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
8	7	idomdomd 21260	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
9		domnrcan.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝑋) = (𝑍 · 𝑋))
10		df-idom 21237	. . . . . 6 ⊢ IDomn = (CRing ∩ Domn)
11	7, 10	eleqtrdi 2838	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (CRing ∩ Domn))
12	11	elin1d 4198	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
13	4	eldifad 3959	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
14	1, 3	crngcom 20196	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) = (𝑌 · 𝑋))
15	12, 13, 5, 14	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (𝑌 · 𝑋))
16	1, 3	crngcom 20196	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑍) = (𝑍 · 𝑋))
17	12, 13, 6, 16	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) = (𝑍 · 𝑋))
18	9, 15, 17	3eqtr4d 2777	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍))
19	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 18	domnlcan 32966	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∖ cdif 3944   ∩ cin 3946  {csn 4630  ‘cfv 6551  (class class class)co 7424  Basecbs 17185  ._rcmulr 17239  0_gc0g 17426  CRingccrg 20179  Domncdomn 21232  IDomncidom 21233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-2 12311  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-plusg 17251  df-0g 17428  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-grp 18898  df-minusg 18899  df-sbg 18900  df-cmn 19742  df-abl 19743  df-mgp 20080  df-rng 20098  df-ur 20127  df-ring 20180  df-cring 20181  df-nzr 20457  df-domn 21236  df-idom 21237

This theorem is referenced by:  fracfld  33012  dvdsruasso  33107  mxidlirredi  33202

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »