Theorem imasgim 42524

Description: A relabeling of the elements of a group induces an isomorphism to the relabeled group. MOVABLE (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasgim.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
imasgim.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
imasgim.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐵)
imasgim.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)

Assertion

Ref	Expression
imasgim	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑈))

Proof of Theorem imasgim

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2728	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2728	. . 3 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
3		eqid 2728	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		eqid 2728	. . 3 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
5		imasgim.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
6		imasgim.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
7		imasgim.v	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
8		eqidd 2729	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅))
9		imasgim.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐵)
10		f1ofo 6846	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐵 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
12	9	f1ocpbl 17506	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (𝐹‘(𝑐(+g‘𝑅)𝑑))))
13		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
14	6, 7, 8, 11, 12, 5, 13	imasgrp 19011	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ Grp ∧ (𝐹‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑈)))
15	14	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Grp)
16	6, 7, 11, 5	imasbas 17493	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑈))
17		f1oeq3 6829	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = (Base‘𝑈) → (𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐵 ↔ 𝐹:𝑉–1-1-onto→(Base‘𝑈)))
18	16, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐵 ↔ 𝐹:𝑉–1-1-onto→(Base‘𝑈)))
19	9, 18	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–1-1-onto→(Base‘𝑈))
20	7	f1oeq2d 6835	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝑉–1-1-onto→(Base‘𝑈) ↔ 𝐹:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑈)))
21	19, 20	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑈))
22		f1of 6839	. . . 4 ⊢ (𝐹:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑈) → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑈))
23	21, 22	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑈))
24	7	eleq2d 2815	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝑉 ↔ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)))
25	7	eleq2d 2815	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝑉 ↔ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅)))
26	24, 25	anbi12d 631	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ↔ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅))))
27	11, 12, 6, 7, 5, 3, 4	imasaddval 17513	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝑈)(𝐹‘𝑏)) = (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)))
28	27	eqcomd 2734	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝑈)(𝐹‘𝑏)))
29	28	3expib 1120	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝑈)(𝐹‘𝑏))))
30	26, 29	sylbird 260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝑈)(𝐹‘𝑏))))
31	30	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝑈)(𝐹‘𝑏)))
32	1, 2, 3, 4, 5, 15, 23, 31	isghmd 19178	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑈))
33	1, 2	isgim 19215	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑈) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑈) ∧ 𝐹:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑈)))
34	32, 21, 33	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ⟶wf 6544  –onto→wfo 6546  –1-1-onto→wf1o 6547  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17179  +_gcplusg 17232  0_gc0g 17420   “_s cimas 17485  Grpcgrp 18889   GrpHom cghm 19166   GrpIso cgim 19210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-0g 17422  df-imas 17489  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-ghm 19167  df-gim 19212

This theorem is referenced by:  isnumbasgrplem1  42525

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »