Theorem lbfzo0 13698

Description: An integer is strictly greater than zero iff it is a member of ℕ. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lbfzo0	⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ℕ)

Proof of Theorem lbfzo0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12593	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		3anass 1093	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴)))
3	1, 2	mpbiran 708	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
4		fzolb 13664	. 2 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
5		elnnz 12592	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
6	3, 4, 5	3bitr4i 303	1 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ℕ)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5142  (class class class)co 7414  0cc0 11132   < clt 11272  ℕcn 12236  ℤcz 12582  ..^cfzo 13653

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-fz 13511  df-fzo 13654

This theorem is referenced by:  elfzo0  13699  fzo0n0  13710  fzo0end  13750  wrdsymb1  14529  ccatfv0  14559  ccat1st1st  14604  ccat2s1p1  14605  lswccats1fst  14611  swrdfv0  14625  pfxn0  14662  pfxfv0  14668  pfxtrcfv0  14670  pfx1  14679  cats1un  14697  revs1  14741  repswfsts  14757  cshwidx0mod  14781  cshw1  14798  scshwfzeqfzo  14803  cats1fvn  14835  pfx2  14924  nnnn0modprm0  16768  cshwrepswhash1  17065  efgsval2  19681  efgs1b  19684  efgsp1  19685  efgsres  19686  efgredlemd  19692  efgredlem  19695  efgrelexlemb  19698  pgpfaclem1  20031  dchrisumlem3  27417  tgcgr4  28328  wlkonl1iedg  29472  usgr2pthlem  29570  pthdlem2lem  29574  lfgrn1cycl  29609  uspgrn2crct  29612  crctcshwlkn0lem6  29619  0enwwlksnge1  29668  wwlksm1edg  29685  wwlksnwwlksnon  29719  clwlkclwwlklem2  29803  clwlkclwwlkf1lem3  29809  clwwlkel  29849  clwwlkf1  29852  umgr2cwwk2dif  29867  clwwlknonwwlknonb  29909  upgr3v3e3cycl  29983  upgr4cycl4dv4e  29988  2clwwlk2clwwlk  30153  cycpmco2lem4  32844  cycpmco2lem5  32845  cycpmrn  32858  lmatcl  33411  fib0  34013  signsvtn0  34196  reprpmtf1o  34252  poimirlem3  37090  amgm2d  43622  amgm3d  43623  amgm4d  43624  iccpartigtl  46757  iccpartlt  46758  amgmw2d  48231

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »