Theorem lflvscl 38549

Description: Closure of a scalar product with a functional. Note that this is the scalar product for a right vector space with the scalar after the vector; reversing these fails closure. (Contributed by NM, 9-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lflsccl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lflsccl.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lflsccl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
lflsccl.t	⊢ · = (.r‘𝐷)
lflsccl.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lflsccl.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lflsccl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lflsccl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lflvscl	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅})) ∈ 𝐹)

Proof of Theorem lflvscl

Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lflsccl.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑊))
3		eqidd 2729	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊))
4		lflsccl.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (Scalar‘𝑊))
6		eqidd 2729	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊))
7		lflsccl.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘𝐷))
9		eqidd 2729	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷))
10		lflsccl.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝐷)
11	10	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝐷))
12		lflsccl.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
13	12	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (LFnl‘𝑊))
14		lflsccl.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
15	4	lmodring 20750	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Ring)
16	14, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Ring)
17	7, 10	ringcl 20189	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐾)
18	17	3expb 1118	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐾)
19	16, 18	sylan 579	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐾)
20		lflsccl.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
21	4, 7, 1, 12	lflf 38535	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:𝑉⟶𝐾)
22	14, 20, 21	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑉⟶𝐾)
23		lflsccl.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐾)
24		fconst6g 6786	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐾 → (𝑉 × {𝑅}):𝑉⟶𝐾)
25	23, 24	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑉 × {𝑅}):𝑉⟶𝐾)
26	1	fvexi 6911	. . . 4 ⊢ 𝑉 ∈ V
27	26	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
28		inidm 4219	. . 3 ⊢ (𝑉 ∩ 𝑉) = 𝑉
29	19, 22, 25, 27, 27, 28	off 7703	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅})):𝑉⟶𝐾)
30	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
31	20	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → 𝐺 ∈ 𝐹)
32		simpr1 1192	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → 𝑟 ∈ 𝐾)
33		simpr2 1193	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → 𝑥 ∈ 𝑉)
34		simpr3 1194	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → 𝑦 ∈ 𝑉)
35		eqid 2728	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
36		eqid 2728	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
37		eqid 2728	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
38	1, 35, 4, 36, 7, 37, 10, 12	lfli 38533	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) = ((𝑟 · (𝐺‘𝑥))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑦)))
39	30, 31, 32, 33, 34, 38	syl113anc 1380	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) = ((𝑟 · (𝐺‘𝑥))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑦)))
40	39	oveq1d 7435	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → ((𝐺‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) · 𝑅) = (((𝑟 · (𝐺‘𝑥))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑦)) · 𝑅))
41	16	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → 𝐷 ∈ Ring)
42	4, 7, 1, 12	lflcl 38536	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝐾)
43	30, 31, 33, 42	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝐾)
44	7, 10	ringcl 20189	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ 𝐾) → (𝑟 · (𝐺‘𝑥)) ∈ 𝐾)
45	41, 32, 43, 44	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → (𝑟 · (𝐺‘𝑥)) ∈ 𝐾)
46	4, 7, 1, 12	lflcl 38536	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑦) ∈ 𝐾)
47	30, 31, 34, 46	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘𝑦) ∈ 𝐾)
48	23	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → 𝑅 ∈ 𝐾)
49	7, 37, 10	ringdir 20200	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ Ring ∧ ((𝑟 · (𝐺‘𝑥)) ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾)) → (((𝑟 · (𝐺‘𝑥))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑦)) · 𝑅) = (((𝑟 · (𝐺‘𝑥)) · 𝑅)(+g‘𝐷)((𝐺‘𝑦) · 𝑅)))
50	41, 45, 47, 48, 49	syl13anc 1370	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → (((𝑟 · (𝐺‘𝑥))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑦)) · 𝑅) = (((𝑟 · (𝐺‘𝑥)) · 𝑅)(+g‘𝐷)((𝐺‘𝑦) · 𝑅)))
51	7, 10	ringass 20192	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ Ring ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾)) → ((𝑟 · (𝐺‘𝑥)) · 𝑅) = (𝑟 · ((𝐺‘𝑥) · 𝑅)))
52	41, 32, 43, 48, 51	syl13anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → ((𝑟 · (𝐺‘𝑥)) · 𝑅) = (𝑟 · ((𝐺‘𝑥) · 𝑅)))
53	52	oveq1d 7435	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → (((𝑟 · (𝐺‘𝑥)) · 𝑅)(+g‘𝐷)((𝐺‘𝑦) · 𝑅)) = ((𝑟 · ((𝐺‘𝑥) · 𝑅))(+g‘𝐷)((𝐺‘𝑦) · 𝑅)))
54	40, 50, 53	3eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → ((𝐺‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) · 𝑅) = ((𝑟 · ((𝐺‘𝑥) · 𝑅))(+g‘𝐷)((𝐺‘𝑦) · 𝑅)))
55	1, 4, 36, 7	lmodvscl 20760	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ 𝑉)
56	30, 32, 33, 55	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ 𝑉)
57	1, 35	lmodvacl 20757	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑉)
58	30, 56, 34, 57	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑉)
59	22	ffnd 6723	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝑉)
60		eqidd 2729	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑉) → (𝐺‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) = (𝐺‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)))
61	27, 23, 59, 60	ofc2 7712	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑉) → ((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) = ((𝐺‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) · 𝑅))
62	58, 61	syldan 590	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → ((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) = ((𝐺‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) · 𝑅))
63		eqidd 2729	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
64	27, 23, 59, 63	ofc2 7712	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥) · 𝑅))
65	33, 64	syldan 590	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → ((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥) · 𝑅))
66	65	oveq2d 7436	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → (𝑟 · ((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑥)) = (𝑟 · ((𝐺‘𝑥) · 𝑅)))
67		eqidd 2729	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑦))
68	27, 23, 59, 67	ofc2 7712	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑦) = ((𝐺‘𝑦) · 𝑅))
69	34, 68	syldan 590	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → ((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑦) = ((𝐺‘𝑦) · 𝑅))
70	66, 69	oveq12d 7438	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → ((𝑟 · ((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑥))(+g‘𝐷)((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑦)) = ((𝑟 · ((𝐺‘𝑥) · 𝑅))(+g‘𝐷)((𝐺‘𝑦) · 𝑅)))
71	54, 62, 70	3eqtr4d 2778	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → ((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) = ((𝑟 · ((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑥))(+g‘𝐷)((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑦)))
72	2, 3, 5, 6, 8, 9, 11, 13, 29, 71, 14	islfld 38534	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅})) ∈ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3471  {csn 4629   × cxp 5676  ⟶wf 6544  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420   ∘_f cof 7683  Basecbs 17179  +_gcplusg 17232  ._rcmulr 17233  Scalarcsca 17235   ·_𝑠 cvsca 17236  Ringcrg 20172  LModclmod 20742  LFnlclfn 38529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-map 8846  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18892  df-mgp 20074  df-ring 20174  df-lmod 20744  df-lfl 38530

This theorem is referenced by:  lkrsc  38569  lfl1dim  38593  ldualvscl  38611  ldualvsass  38613

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »