Theorem lkrshp 38609

Description: The kernel of a nonzero functional is a hyperplane. (Contributed by NM, 29-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkrshp.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrshp.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lkrshp.z	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lkrshp.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lkrshp.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrshp.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lkrshp	⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻)

Proof of Theorem lkrshp

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lveclmod 20998	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
2	1	3ad2ant1 1130	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → 𝑊 ∈ LMod)
3		simp2 1134	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → 𝐺 ∈ 𝐹)
4		lkrshp.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5		lkrshp.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
6		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
7	4, 5, 6	lkrlss 38599	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐾‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊))
8	2, 3, 7	syl2anc 582	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (𝐾‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊))
9		simp3 1135	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 }))
10		lkrshp.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
11		lkrshp.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
12		lkrshp.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
13	10, 11, 12, 4, 5	lkr0f 38598	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((𝐾‘𝐺) = 𝑉 ↔ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })))
14	2, 3, 13	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → ((𝐾‘𝐺) = 𝑉 ↔ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })))
15	14	necon3bid 2982	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → ((𝐾‘𝐺) ≠ 𝑉 ↔ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })))
16	9, 15	mpbird 256	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (𝐾‘𝐺) ≠ 𝑉)
17		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐷) = (1r‘𝐷)
18	10, 11, 17, 12, 4	lfl1 38574	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷))
19		simp11 1200	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷)) → 𝑊 ∈ LVec)
20		simp2 1134	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷)) → 𝑣 ∈ 𝑉)
21		simp12 1201	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷)) → 𝐺 ∈ 𝐹)
22		simp3 1135	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷)) → (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷))
23	10	lvecdrng 20997	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐷 ∈ DivRing)
24	11, 17	drngunz 20650	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ DivRing → (1r‘𝐷) ≠ 0 )
25	19, 23, 24	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷)) → (1r‘𝐷) ≠ 0 )
26	22, 25	eqnetrd 3005	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷)) → (𝐺‘𝑣) ≠ 0 )
27		simpl11 1245	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺)) → 𝑊 ∈ LVec)
28		simpl12 1246	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺)) → 𝐺 ∈ 𝐹)
29		simpr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺)) → 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺))
30	10, 11, 4, 5	lkrf0 38597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺)) → (𝐺‘𝑣) = 0 )
31	27, 28, 29, 30	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺)) → (𝐺‘𝑣) = 0 )
32	31	ex 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷)) → (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) → (𝐺‘𝑣) = 0 ))
33	32	necon3ad 2950	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷)) → ((𝐺‘𝑣) ≠ 0 → ¬ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺)))
34	26, 33	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷)) → ¬ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺))
35		eqid 2728	. . . . . . 7 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
36	12, 35, 4, 5	lkrlsp3 38608	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺)) → ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝐺) ∪ {𝑣})) = 𝑉)
37	19, 20, 21, 34, 36	syl121anc 1372	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷)) → ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝐺) ∪ {𝑣})) = 𝑉)
38	37	3expia 1118	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷) → ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝐺) ∪ {𝑣})) = 𝑉))
39	38	reximdva 3165	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝐺) ∪ {𝑣})) = 𝑉))
40	18, 39	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝐺) ∪ {𝑣})) = 𝑉)
41		lkrshp.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
42	12, 35, 6, 41	islshp 38483	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → ((𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻 ↔ ((𝐾‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝐾‘𝐺) ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝐺) ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
43	42	3ad2ant1 1130	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → ((𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻 ↔ ((𝐾‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝐾‘𝐺) ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝐺) ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
44	8, 16, 40, 43	mpbir3and 1339	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2937  ∃wrex 3067   ∪ cun 3947  {csn 4632   × cxp 5680  ‘cfv 6553  Basecbs 17187  Scalarcsca 17243  0_gc0g 17428  1_rcur 20128  DivRingcdr 20631  LModclmod 20750  LSubSpclss 20822  LSpanclspn 20862  LVecclvec 20994  LSHypclsh 38479  LFnlclfn 38561  LKerclk 38589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-tpos 8238  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-subg 19085  df-cntz 19275  df-lsm 19598  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-oppr 20280  df-dvdsr 20303  df-unit 20304  df-invr 20334  df-drng 20633  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-lsp 20863  df-lvec 20995  df-lshyp 38481  df-lfl 38562  df-lkr 38590

This theorem is referenced by:  lkrshp3  38610  lkrshpor  38611  lshpset2N  38623  lfl1dim  38625  lfl1dim2N  38626  hdmaplkr  41418

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »