Theorem lmcau 25259

Description: Every convergent sequence in a metric space is a Cauchy sequence. Theorem 1.4-5 of [Kreyszig] p. 28. (Contributed by NM, 29-Jan-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-May-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
lmcau.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
lmcau	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → dom (⇝𝑡‘𝐽) ⊆ (Cau‘𝐷))

Proof of Theorem lmcau

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑓 𝑗 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmcau.1	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
2	1	methaus 24447	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Haus)
3		lmfun 23303	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → Fun (⇝𝑡‘𝐽))
4		funfvbrb 7063	. . . 4 ⊢ (Fun (⇝𝑡‘𝐽) → (𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽) ↔ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)))
5	2, 3, 4	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽) ↔ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)))
6		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
7	1, 6	lmmbr 25204	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓) ↔ (𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ ran ℤ≥(𝑓 ↾ 𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)𝑦))))
8	7	biimpa 475	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) → (𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ ran ℤ≥(𝑓 ↾ 𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)𝑦)))
9	8	simp1d 1139	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) → 𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ))
10		simprr 771	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))
11		simplll 773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
12	8	simp2d 1140	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) → ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓) ∈ 𝑋)
13	12	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓) ∈ 𝑋)
14		rpre 13020	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ)
15	14	ad2antlr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
16		uzid 12873	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
17	16	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
18	17	fvresd 6920	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → ((𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗))‘𝑗) = (𝑓‘𝑗))
19	10, 17	ffvelcdmd 7098	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → ((𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗))‘𝑗) ∈ (((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))
20	18, 19	eqeltrrd 2829	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → (𝑓‘𝑗) ∈ (((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))
21		blhalf 24329	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑓‘𝑗) ∈ (((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → (((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)) ⊆ ((𝑓‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))
22	11, 13, 15, 20, 21	syl22anc 837	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → (((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)) ⊆ ((𝑓‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))
23	10, 22	fssd 6743	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))) → (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶((𝑓‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))
24		rphalfcl 13039	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
25	8	simp3d 1141	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ ran ℤ≥(𝑓 ↾ 𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)𝑦))
26		oveq2 7432	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (𝑥 / 2) → (((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)𝑦) = (((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))
27	26	feq3d 6712	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝑥 / 2) → ((𝑓 ↾ 𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)𝑦) ↔ (𝑓 ↾ 𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2))))
28	27	rexbidv 3174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝑥 / 2) → (∃𝑢 ∈ ran ℤ≥(𝑓 ↾ 𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)𝑦) ↔ ∃𝑢 ∈ ran ℤ≥(𝑓 ↾ 𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2))))
29	28	rspcv 3605	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 / 2) ∈ ℝ+ → (∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ ran ℤ≥(𝑓 ↾ 𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)𝑦) → ∃𝑢 ∈ ran ℤ≥(𝑓 ↾ 𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2))))
30	24, 25, 29	syl2im 40	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) → ∃𝑢 ∈ ran ℤ≥(𝑓 ↾ 𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2))))
31	30	impcom 406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑢 ∈ ran ℤ≥(𝑓 ↾ 𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))
32		uzf 12861	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
33		ffn 6725	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ → ℤ≥ Fn ℤ)
34		reseq2 5982	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = (ℤ≥‘𝑗) → (𝑓 ↾ 𝑢) = (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)))
35		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = (ℤ≥‘𝑗) → 𝑢 = (ℤ≥‘𝑗))
36	34, 35	feq12d 6713	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = (ℤ≥‘𝑗) → ((𝑓 ↾ 𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)) ↔ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2))))
37	36	rexrn 7100	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥ Fn ℤ → (∃𝑢 ∈ ran ℤ≥(𝑓 ↾ 𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2))))
38	32, 33, 37	mp2b 10	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑢 ∈ ran ℤ≥(𝑓 ↾ 𝑢):𝑢⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))
39	31, 38	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)(ball‘𝐷)(𝑥 / 2)))
40	23, 39	reximddv 3167	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶((𝑓‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))
41	40	ralrimiva 3142	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶((𝑓‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))
42		iscau 25222	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶((𝑓‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
43	42	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) → (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑓 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶((𝑓‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
44	9, 41, 43	mpbir2and 711	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓)) → 𝑓 ∈ (Cau‘𝐷))
45	44	ex 411	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝑓) → 𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)))
46	5, 45	sylbid 239	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽) → 𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)))
47	46	ssrdv 3986	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → dom (⇝𝑡‘𝐽) ⊆ (Cau‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3057  ∃wrex 3066   ⊆ wss 3947  𝒫 cpw 4604   class class class wbr 5150  dom cdm 5680  ran crn 5681   ↾ cres 5682  Fun wfun 6545   Fn wfn 6546  ⟶wf 6547  ‘cfv 6551  (class class class)co 7424   ↑_pm cpm 8850  ℂcc 11142  ℝcr 11143   / cdiv 11907  2c2 12303  ℤcz 12594  ℤ_≥cuz 12858  ℝ⁺crp 13012  ∞Metcxmet 21269  ballcbl 21271  MetOpencmopn 21274  ⇝_𝑡clm 23148  Hauscha 23230  Cauccau 25199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-map 8851  df-pm 8852  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-n0 12509  df-z 12595  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-xneg 13130  df-xadd 13131  df-xmul 13132  df-icc 13369  df-topgen 17430  df-psmet 21276  df-xmet 21277  df-met 21278  df-bl 21279  df-mopn 21280  df-top 22814  df-topon 22831  df-bases 22867  df-lm 23151  df-haus 23237  df-cau 25202

This theorem is referenced by:  hlimcaui  31064

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »