Theorem funfvbrb 7054

Description: Two ways to say that 𝐴 is in the domain of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 1-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
funfvbrb	⊢ (Fun 𝐹 → (𝐴 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝐴𝐹(𝐹‘𝐴)))

Proof of Theorem funfvbrb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfvop 7053	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩ ∈ 𝐹)
2		df-br 5143	. . 3 ⊢ (𝐴𝐹(𝐹‘𝐴) ↔ ⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩ ∈ 𝐹)
3	1, 2	sylibr 233	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → 𝐴𝐹(𝐹‘𝐴))
4		funrel 6564	. . 3 ⊢ (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
5		releldm 5940	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐴𝐹(𝐹‘𝐴)) → 𝐴 ∈ dom 𝐹)
6	4, 5	sylan 579	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴𝐹(𝐹‘𝐴)) → 𝐴 ∈ dom 𝐹)
7	3, 6	impbida 800	1 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐴 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝐴𝐹(𝐹‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2099  ⟨cop 4630   class class class wbr 5142  dom cdm 5672  Rel wrel 5677  Fun wfun 6536  ‘cfv 6542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3472  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4319  df-if 4525  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-fv 6550

This theorem is referenced by:  fmptco  7132  fpwwe2lem12  10659  fpwwe2  10660  climdm  15524  invco  17747  ffthiso  17911  fuciso  17960  setciso  18073  catciso  18093  rngciso  20564  ringciso  20598  lmcau  25234  dvcnp  25841  dvadd  25864  dvmul  25865  dvaddf  25866  dvmulf  25867  dvco  25872  dvcof  25873  dvcjbr  25874  dvcnvlem  25901  dvferm1  25910  dvferm2  25912  ulmdm  26322  ulmdvlem3  26331  minvecolem4a  30680  hlimf  31040  hhsscms  31081  occllem  31106  occl  31107  chscllem4  31443  fmptcof2  32436  heiborlem9  37286  bfplem1  37289  iscard4  42957  xlimdm  45239  rngcisoALTV  47333  ringcisoALTV  47367

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »