Theorem mapdlsm 41137

Description: Subspace sum is preserved by the map defined by df-mapd 41098. Part of property (e) in [Baer] p. 40. (Contributed by NM, 13-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdlsm.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdlsm.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdlsm.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdlsm.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
mapdlsm.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
mapdlsm.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdlsm.q	⊢ ✚ = (LSSum‘𝐶)
mapdlsm.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdlsm.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
mapdlsm.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
mapdlsm	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑋 ⊕ 𝑌)) = ((𝑀‘𝑋) ✚ (𝑀‘𝑌)))

Proof of Theorem mapdlsm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdlsm.h	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdlsm.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdlsm.k	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	lcdlmod 41065	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
5		eqid 2728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (LSubSp‘𝐶) = (LSubSp‘𝐶)
6	5	lsssssubg 20841	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ LMod → (LSubSp‘𝐶) ⊆ (SubGrp‘𝐶))
7	4, 6	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (LSubSp‘𝐶) ⊆ (SubGrp‘𝐶))
8		mapdlsm.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
9		mapdlsm.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
10		mapdlsm.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
11		mapdlsm.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
12	1, 8, 9, 10, 2, 5, 3, 11	mapdcl2 41129	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ∈ (LSubSp‘𝐶))
13	7, 12	sseldd 3981	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ∈ (SubGrp‘𝐶))
14		mapdlsm.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑆)
15	1, 8, 9, 10, 2, 5, 3, 14	mapdcl2 41129	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑌) ∈ (LSubSp‘𝐶))
16	7, 15	sseldd 3981	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑌) ∈ (SubGrp‘𝐶))
17		mapdlsm.q	. . . . . . . . 9 ⊢ ✚ = (LSSum‘𝐶)
18	17	lsmub1 19611	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀‘𝑋) ∈ (SubGrp‘𝐶) ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ (SubGrp‘𝐶)) → (𝑀‘𝑋) ⊆ ((𝑀‘𝑋) ✚ (𝑀‘𝑌)))
19	13, 16, 18	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ⊆ ((𝑀‘𝑋) ✚ (𝑀‘𝑌)))
20	1, 8, 9, 10, 3, 11	mapdcl 41126	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ∈ ran 𝑀)
21	1, 8, 9, 10, 3, 14	mapdcl 41126	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑌) ∈ ran 𝑀)
22	1, 8, 9, 2, 17, 3, 20, 21	mapdlsmcl 41136	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑋) ✚ (𝑀‘𝑌)) ∈ ran 𝑀)
23	1, 8, 3, 22	mapdcnvid2 41130	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ✚ (𝑀‘𝑌)))) = ((𝑀‘𝑋) ✚ (𝑀‘𝑌)))
24	19, 23	sseqtrrd 4021	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ⊆ (𝑀‘(◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ✚ (𝑀‘𝑌)))))
25	1, 8, 9, 10, 3, 22	mapdcnvcl 41125	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ✚ (𝑀‘𝑌))) ∈ 𝑆)
26	1, 9, 10, 8, 3, 11, 25	mapdord 41111	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑋) ⊆ (𝑀‘(◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ✚ (𝑀‘𝑌)))) ↔ 𝑋 ⊆ (◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ✚ (𝑀‘𝑌)))))
27	24, 26	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ (◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ✚ (𝑀‘𝑌))))
28	17	lsmub2 19612	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀‘𝑋) ∈ (SubGrp‘𝐶) ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ (SubGrp‘𝐶)) → (𝑀‘𝑌) ⊆ ((𝑀‘𝑋) ✚ (𝑀‘𝑌)))
29	13, 16, 28	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑌) ⊆ ((𝑀‘𝑋) ✚ (𝑀‘𝑌)))
30	29, 23	sseqtrrd 4021	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑌) ⊆ (𝑀‘(◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ✚ (𝑀‘𝑌)))))
31	1, 9, 10, 8, 3, 14, 25	mapdord 41111	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑌) ⊆ (𝑀‘(◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ✚ (𝑀‘𝑌)))) ↔ 𝑌 ⊆ (◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ✚ (𝑀‘𝑌)))))
32	30, 31	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ (◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ✚ (𝑀‘𝑌))))
33	1, 9, 3	dvhlmod 40583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
34	10	lsssssubg 20841	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑈))
35	33, 34	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑈))
36	35, 11	sseldd 3981	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑈))
37	35, 14	sseldd 3981	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (SubGrp‘𝑈))
38	35, 25	sseldd 3981	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ✚ (𝑀‘𝑌))) ∈ (SubGrp‘𝑈))
39		mapdlsm.p	. . . . . . 7 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
40	39	lsmlub 19618	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑈) ∧ 𝑌 ∈ (SubGrp‘𝑈) ∧ (◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ✚ (𝑀‘𝑌))) ∈ (SubGrp‘𝑈)) → ((𝑋 ⊆ (◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ✚ (𝑀‘𝑌))) ∧ 𝑌 ⊆ (◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ✚ (𝑀‘𝑌)))) ↔ (𝑋 ⊕ 𝑌) ⊆ (◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ✚ (𝑀‘𝑌)))))
41	36, 37, 38, 40	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ⊆ (◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ✚ (𝑀‘𝑌))) ∧ 𝑌 ⊆ (◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ✚ (𝑀‘𝑌)))) ↔ (𝑋 ⊕ 𝑌) ⊆ (◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ✚ (𝑀‘𝑌)))))
42	27, 32, 41	mpbi2and 711	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊕ 𝑌) ⊆ (◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ✚ (𝑀‘𝑌))))
43	10, 39	lsmcl 20967	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (𝑋 ⊕ 𝑌) ∈ 𝑆)
44	33, 11, 14, 43	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊕ 𝑌) ∈ 𝑆)
45	1, 9, 10, 8, 3, 44, 25	mapdord 41111	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝑋 ⊕ 𝑌)) ⊆ (𝑀‘(◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ✚ (𝑀‘𝑌)))) ↔ (𝑋 ⊕ 𝑌) ⊆ (◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ✚ (𝑀‘𝑌)))))
46	42, 45	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑋 ⊕ 𝑌)) ⊆ (𝑀‘(◡𝑀‘((𝑀‘𝑋) ✚ (𝑀‘𝑌)))))
47	46, 23	sseqtrd 4020	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑋 ⊕ 𝑌)) ⊆ ((𝑀‘𝑋) ✚ (𝑀‘𝑌)))
48	39	lsmub1 19611	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑈) ∧ 𝑌 ∈ (SubGrp‘𝑈)) → 𝑋 ⊆ (𝑋 ⊕ 𝑌))
49	36, 37, 48	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ (𝑋 ⊕ 𝑌))
50	1, 9, 10, 8, 3, 11, 44	mapdord 41111	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑋) ⊆ (𝑀‘(𝑋 ⊕ 𝑌)) ↔ 𝑋 ⊆ (𝑋 ⊕ 𝑌)))
51	49, 50	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ⊆ (𝑀‘(𝑋 ⊕ 𝑌)))
52	39	lsmub2 19612	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑈) ∧ 𝑌 ∈ (SubGrp‘𝑈)) → 𝑌 ⊆ (𝑋 ⊕ 𝑌))
53	36, 37, 52	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ (𝑋 ⊕ 𝑌))
54	1, 9, 10, 8, 3, 14, 44	mapdord 41111	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑌) ⊆ (𝑀‘(𝑋 ⊕ 𝑌)) ↔ 𝑌 ⊆ (𝑋 ⊕ 𝑌)))
55	53, 54	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑌) ⊆ (𝑀‘(𝑋 ⊕ 𝑌)))
56	1, 8, 9, 10, 2, 5, 3, 44	mapdcl2 41129	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑋 ⊕ 𝑌)) ∈ (LSubSp‘𝐶))
57	7, 56	sseldd 3981	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑋 ⊕ 𝑌)) ∈ (SubGrp‘𝐶))
58	17	lsmlub 19618	. . . 4 ⊢ (((𝑀‘𝑋) ∈ (SubGrp‘𝐶) ∧ (𝑀‘𝑌) ∈ (SubGrp‘𝐶) ∧ (𝑀‘(𝑋 ⊕ 𝑌)) ∈ (SubGrp‘𝐶)) → (((𝑀‘𝑋) ⊆ (𝑀‘(𝑋 ⊕ 𝑌)) ∧ (𝑀‘𝑌) ⊆ (𝑀‘(𝑋 ⊕ 𝑌))) ↔ ((𝑀‘𝑋) ✚ (𝑀‘𝑌)) ⊆ (𝑀‘(𝑋 ⊕ 𝑌))))
59	13, 16, 57, 58	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑀‘𝑋) ⊆ (𝑀‘(𝑋 ⊕ 𝑌)) ∧ (𝑀‘𝑌) ⊆ (𝑀‘(𝑋 ⊕ 𝑌))) ↔ ((𝑀‘𝑋) ✚ (𝑀‘𝑌)) ⊆ (𝑀‘(𝑋 ⊕ 𝑌))))
60	51, 55, 59	mpbi2and 711	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑋) ✚ (𝑀‘𝑌)) ⊆ (𝑀‘(𝑋 ⊕ 𝑌)))
61	47, 60	eqssd 3997	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑋 ⊕ 𝑌)) = ((𝑀‘𝑋) ✚ (𝑀‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ⊆ wss 3947  ^◡ccnv 5677  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  SubGrpcsubg 19074  LSSumclsm 19588  LModclmod 20742  LSubSpclss 20814  HLchlt 38822  LHypclh 39457  DVecHcdvh 40551  LCDualclcd 41059  mapdcmpd 41097

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-riotaBAD 38425

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8231  df-undef 8278  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-map 8846  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-0g 17422  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-proset 18286  df-poset 18304  df-plt 18321  df-lub 18337  df-glb 18338  df-join 18339  df-meet 18340  df-p0 18416  df-p1 18417  df-lat 18423  df-clat 18490  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-subg 19077  df-cntz 19267  df-oppg 19296  df-lsm 19590  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-oppr 20272  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-invr 20326  df-dvr 20339  df-drng 20625  df-lmod 20744  df-lss 20815  df-lsp 20855  df-lvec 20987  df-lsatoms 38448  df-lshyp 38449  df-lcv 38491  df-lfl 38530  df-lkr 38558  df-ldual 38596  df-oposet 38648  df-ol 38650  df-oml 38651  df-covers 38738  df-ats 38739  df-atl 38770  df-cvlat 38794  df-hlat 38823  df-llines 38971  df-lplanes 38972  df-lvols 38973  df-lines 38974  df-psubsp 38976  df-pmap 38977  df-padd 39269  df-lhyp 39461  df-laut 39462  df-ldil 39577  df-ltrn 39578  df-trl 39632  df-tgrp 40216  df-tendo 40228  df-edring 40230  df-dveca 40476  df-disoa 40502  df-dvech 40552  df-dib 40612  df-dic 40646  df-dih 40702  df-doch 40821  df-djh 40868  df-lcdual 41060  df-mapd 41098

This theorem is referenced by:  mapdindp  41144  mapdpglem1  41145  mapdheq4lem  41204  mapdh6lem1N  41206  mapdh6lem2N  41207  hdmap1l6lem1  41280  hdmap1l6lem2  41281  hdmaprnlem3eN  41331

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »