Theorem mat1dimelbas 22367

Description: A matrix with dimension 1 is an ordered pair with an ordered pair (of the one and only pair of indices) as first component. (Contributed by AV, 15-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat1dim.a	⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
mat1dim.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mat1dim.o	⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
mat1dimelbas	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑀 ∈ (Base‘𝐴) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 𝑀 = {⟨𝑂, 𝑟⟩}))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑟   𝐸,𝑟   𝑀,𝑟   𝑅,𝑟   𝑉,𝑟

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑟)   𝑂(𝑟)

Proof of Theorem mat1dimelbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snfi 9063	. . . 4 ⊢ {𝐸} ∈ Fin
2		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ Ring)
3		mat1dim.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
4		mat1dim.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5	3, 4	matbas2 22317	. . . . . 6 ⊢ (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐵 ↑m ({𝐸} × {𝐸})) = (Base‘𝐴))
6	5	eqcomd 2734	. . . . 5 ⊢ (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘𝐴) = (𝐵 ↑m ({𝐸} × {𝐸})))
7	6	eleq2d 2815	. . . 4 ⊢ (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑀 ∈ (Base‘𝐴) ↔ 𝑀 ∈ (𝐵 ↑m ({𝐸} × {𝐸}))))
8	1, 2, 7	sylancr 586	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑀 ∈ (Base‘𝐴) ↔ 𝑀 ∈ (𝐵 ↑m ({𝐸} × {𝐸}))))
9	4	fvexi 6906	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
10		snex 5428	. . . . . 6 ⊢ {𝐸} ∈ V
11	10, 10	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ ({𝐸} ∈ V ∧ {𝐸} ∈ V)
12		xpexg 7747	. . . . 5 ⊢ (({𝐸} ∈ V ∧ {𝐸} ∈ V) → ({𝐸} × {𝐸}) ∈ V)
13	11, 12	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ({𝐸} × {𝐸}) ∈ V)
14		elmapg 8852	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ ({𝐸} × {𝐸}) ∈ V) → (𝑀 ∈ (𝐵 ↑m ({𝐸} × {𝐸})) ↔ 𝑀:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵))
15	9, 13, 14	sylancr 586	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑀 ∈ (𝐵 ↑m ({𝐸} × {𝐸})) ↔ 𝑀:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵))
16	8, 15	bitrd 279	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑀 ∈ (Base‘𝐴) ↔ 𝑀:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵))
17		xpsng 7143	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
18	17	anidms 566	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑉 → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
19	18	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
20	19	feq2d 6703	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑀:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵 ↔ 𝑀:{⟨𝐸, 𝐸⟩}⟶𝐵))
21		opex 5461	. . . . . . 7 ⊢ ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V
22	21	fsn2 7140	. . . . . 6 ⊢ (𝑀:{⟨𝐸, 𝐸⟩}⟶𝐵 ↔ ((𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) ∈ 𝐵 ∧ 𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩}))
23		risset 3226	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 𝑟 = (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩))
24		eqcom 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) ↔ (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑟)
25	24	rexbii 3090	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑟 ∈ 𝐵 𝑟 = (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑟)
26	23, 25	sylbb 218	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) ∈ 𝐵 → ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑟)
27	26	ad2antrl 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) ∈ 𝐵 ∧ 𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩})) → ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑟)
28		eqeq1 2732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩} → (𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} ↔ {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩} = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩}))
29		opex 5461	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩ ∈ V
30		sneqbg 4841	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩ ∈ V → ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩} = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} ↔ ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩ = ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩))
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩} = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} ↔ ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩ = ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩)
32		eqid 2728	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ⟨𝐸, 𝐸⟩ = ⟨𝐸, 𝐸⟩
33		vex 3474	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑟 ∈ V
34	21, 33	opth2 5477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩ = ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩ ↔ (⟨𝐸, 𝐸⟩ = ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∧ (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑟))
35	32, 34	mpbiran 708	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩ = ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩ ↔ (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑟)
36	31, 35	bitri 275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩} = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} ↔ (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑟)
37	28, 36	bitrdi 287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩} → (𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} ↔ (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑟))
38	37	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) ∈ 𝐵 ∧ 𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩}) → (𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} ↔ (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑟))
39	38	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) ∈ 𝐵 ∧ 𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩})) → (𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} ↔ (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑟))
40	39	rexbidv 3174	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) ∈ 𝐵 ∧ 𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩})) → (∃𝑟 ∈ 𝐵 𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑟))
41	27, 40	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) ∈ 𝐵 ∧ 𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩})) → ∃𝑟 ∈ 𝐵 𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩})
42	41	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (((𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩) ∈ 𝐵 ∧ 𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑀‘⟨𝐸, 𝐸⟩)⟩}) → ∃𝑟 ∈ 𝐵 𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩}))
43	22, 42	biimtrid 241	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑀:{⟨𝐸, 𝐸⟩}⟶𝐵 → ∃𝑟 ∈ 𝐵 𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩}))
44	20, 43	sylbid 239	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑀:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵 → ∃𝑟 ∈ 𝐵 𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩}))
45		f1o2sn 7146	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩}:({𝐸} × {𝐸})–1-1-onto→{𝑟})
46		f1of 6834	. . . . . . . . 9 ⊢ ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩}:({𝐸} × {𝐸})–1-1-onto→{𝑟} → {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶{𝑟})
47	45, 46	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶{𝑟})
48	47	adantll 713	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶{𝑟})
49		snssi 4808	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ 𝐵 → {𝑟} ⊆ 𝐵)
50	49	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → {𝑟} ⊆ 𝐵)
51	48, 50	fssd 6735	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵)
52		feq1 6698	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} → (𝑀:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵 ↔ {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵))
53	51, 52	syl5ibrcom 246	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → (𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} → 𝑀:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵))
54	53	rexlimdva 3151	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (∃𝑟 ∈ 𝐵 𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} → 𝑀:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵))
55	44, 54	impbid 211	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑀:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩}))
56		mat1dim.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩
57	56	eqcomi 2737	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨𝐸, 𝐸⟩ = 𝑂
58	57	opeq1i 4873	. . . . . . 7 ⊢ ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩ = ⟨𝑂, 𝑟⟩
59	58	sneqi 4636	. . . . . 6 ⊢ {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} = {⟨𝑂, 𝑟⟩}
60	59	eqeq2i 2741	. . . . 5 ⊢ (𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} ↔ 𝑀 = {⟨𝑂, 𝑟⟩})
61	60	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} ↔ 𝑀 = {⟨𝑂, 𝑟⟩}))
62	61	rexbidv 3174	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (∃𝑟 ∈ 𝐵 𝑀 = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑟⟩} ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 𝑀 = {⟨𝑂, 𝑟⟩}))
63	55, 62	bitrd 279	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑀:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 𝑀 = {⟨𝑂, 𝑟⟩}))
64	16, 63	bitrd 279	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝑀 ∈ (Base‘𝐴) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 𝑀 = {⟨𝑂, 𝑟⟩}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∃wrex 3066  Vcvv 3470   ⊆ wss 3945  {csn 4625  ⟨cop 4631   × cxp 5671  ⟶wf 6539  –1-1-onto→wf1o 6542  ‘cfv 6543  (class class class)co 7415   ↑_m cmap 8839  Fincfn 8958  Basecbs 17174  Ringcrg 20167   Mat cmat 22301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-ot 4634  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8161  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8481  df-er 8719  df-map 8841  df-ixp 8911  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-fin 8962  df-fsupp 9381  df-sup 9460  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-fz 13512  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17417  df-prds 17423  df-pws 17425  df-sra 21052  df-rgmod 21053  df-dsmm 21660  df-frlm 21675  df-mat 22302

This theorem is referenced by:  mat1dimbas  22368  mat1dimcrng  22373  mat1scmat  22435

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »