Theorem nmlnoubi 30619

Description: An upper bound for the operator norm of a linear operator, using only the properties of nonzero arguments. (Contributed by NM, 1-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmlnoubi.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nmlnoubi.z	⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
nmlnoubi.k	⊢ 𝐾 = (normCV‘𝑈)
nmlnoubi.m	⊢ 𝑀 = (normCV‘𝑊)
nmlnoubi.3	⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
nmlnoubi.7	⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
nmlnoubi.u	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
nmlnoubi.w	⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
nmlnoubi	⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥 ≠ 𝑍 → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥)))) → (𝑁‘𝑇) ≤ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐾   𝑥,𝐿   𝑥,𝑀   𝑥,𝑇   𝑥,𝑈   𝑥,𝑊   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝑁(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem nmlnoubi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2fveq3 6902	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) = (𝑀‘(𝑇‘𝑍)))
2		fveq2 6897	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → (𝐾‘𝑥) = (𝐾‘𝑍))
3	2	oveq2d 7436	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → (𝐴 · (𝐾‘𝑥)) = (𝐴 · (𝐾‘𝑍)))
4	1, 3	breq12d 5161	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → ((𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥)) ↔ (𝑀‘(𝑇‘𝑍)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑍))))
5		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ≠ 𝑍 → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥))) → (𝑥 ≠ 𝑍 → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥))))
6	5	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ≠ 𝑍 → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥))) ∧ 𝑥 ≠ 𝑍) → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥)))
7	6	adantll 713	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ (𝑥 ≠ 𝑍 → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ≠ 𝑍) → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥)))
8		0le0 12344	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 0
9		nmlnoubi.u	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
10		nmlnoubi.w	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
11		nmlnoubi.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
12		eqid 2728	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
13		nmlnoubi.z	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
14		eqid 2728	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0vec‘𝑊) = (0vec‘𝑊)
15		nmlnoubi.7	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
16	11, 12, 13, 14, 15	lno0 30579	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (𝑇‘𝑍) = (0vec‘𝑊))
17	9, 10, 16	mp3an12 1448	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐿 → (𝑇‘𝑍) = (0vec‘𝑊))
18	17	fveq2d 6901	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐿 → (𝑀‘(𝑇‘𝑍)) = (𝑀‘(0vec‘𝑊)))
19		nmlnoubi.m	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑀 = (normCV‘𝑊)
20	14, 19	nvz0 30491	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → (𝑀‘(0vec‘𝑊)) = 0)
21	10, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀‘(0vec‘𝑊)) = 0
22	18, 21	eqtrdi 2784	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐿 → (𝑀‘(𝑇‘𝑍)) = 0)
23	22	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (𝑀‘(𝑇‘𝑍)) = 0)
24		nmlnoubi.k	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐾 = (normCV‘𝑈)
25	13, 24	nvz0 30491	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝐾‘𝑍) = 0)
26	9, 25	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾‘𝑍) = 0
27	26	oveq2i 7431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 · (𝐾‘𝑍)) = (𝐴 · 0)
28		recn 11229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
29	28	mul01d 11444	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) = 0)
30	27, 29	eqtrid 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · (𝐾‘𝑍)) = 0)
31	30	ad2antrl 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (𝐴 · (𝐾‘𝑍)) = 0)
32	23, 31	breq12d 5161	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → ((𝑀‘(𝑇‘𝑍)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑍)) ↔ 0 ≤ 0))
33	8, 32	mpbiri 258	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (𝑀‘(𝑇‘𝑍)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑍)))
34	33	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ (𝑥 ≠ 𝑍 → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥)))) → (𝑀‘(𝑇‘𝑍)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑍)))
35	4, 7, 34	pm2.61ne 3024	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ (𝑥 ≠ 𝑍 → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥)))) → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥)))
36	35	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → ((𝑥 ≠ 𝑍 → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥))) → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥))))
37	36	ralimdv 3166	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥 ≠ 𝑍 → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥))) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥))))
38	37	3impia 1115	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥 ≠ 𝑍 → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥)))) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥)))
39	11, 12, 15	lnof 30578	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
40	9, 10, 39	mp3an12 1448	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐿 → 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
41		nmlnoubi.3	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
42	11, 12, 24, 19, 41, 9, 10	nmoub2i 30597	. . 3 ⊢ ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥))) → (𝑁‘𝑇) ≤ 𝐴)
43	40, 42	syl3an1 1161	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥))) → (𝑁‘𝑇) ≤ 𝐴)
44	38, 43	syld3an3 1407	1 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥 ≠ 𝑍 → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥)))) → (𝑁‘𝑇) ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2937  ∀wral 3058   class class class wbr 5148  ⟶wf 6544  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  ℝcr 11138  0cc0 11139   · cmul 11144   ≤ cle 11280  NrmCVeccnv 30407  BaseSetcba 30409  0_veccn0v 30411  norm_CVcnmcv 30413   LnOp clno 30563   normOp_OLD cnmoo 30564

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9466  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-rp 13008  df-seq 14000  df-exp 14060  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-grpo 30316  df-gid 30317  df-ginv 30318  df-ablo 30368  df-vc 30382  df-nv 30415  df-va 30418  df-ba 30419  df-sm 30420  df-0v 30421  df-nmcv 30423  df-lno 30567  df-nmoo 30568

This theorem is referenced by: (None)

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »