Theorem pcoval2 24956

Description: Evaluate the concatenation of two paths on the second half. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcoval.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoval.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoval2.4	⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))

Assertion

Ref	Expression
pcoval2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘𝑋) = (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1)))

Proof of Theorem pcoval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11247	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		1re 11245	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		halfge0 12460	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ (1 / 2)
4		1le1 11873	. . . . 5 ⊢ 1 ≤ 1
5		iccss 13425	. . . . 5 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 / 2) ∧ 1 ≤ 1)) → ((1 / 2)[,]1) ⊆ (0[,]1))
6	1, 2, 3, 4, 5	mp4an 692	. . . 4 ⊢ ((1 / 2)[,]1) ⊆ (0[,]1)
7	6	sseli 3976	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) → 𝑋 ∈ (0[,]1))
8		pcoval.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
9		pcoval.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
10	8, 9	pcovalg 24952	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘𝑋) = if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))))
11	7, 10	sylan2 592	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘𝑋) = if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))))
12		pcoval2.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))
13	12	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))
14		simprr 772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → 𝑋 ≤ (1 / 2))
15		halfre 12457	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
16	15, 2	elicc2i 13423	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))
17	16	simp2bi 1144	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) → (1 / 2) ≤ 𝑋)
18	17	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → (1 / 2) ≤ 𝑋)
19	16	simp1bi 1143	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) → 𝑋 ∈ ℝ)
20	19	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → 𝑋 ∈ ℝ)
21		letri3 11330	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (𝑋 = (1 / 2) ↔ (𝑋 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) ≤ 𝑋)))
22	20, 15, 21	sylancl 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → (𝑋 = (1 / 2) ↔ (𝑋 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) ≤ 𝑋)))
23	14, 18, 22	mpbir2and 712	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → 𝑋 = (1 / 2))
24	23	oveq2d 7436	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → (2 · 𝑋) = (2 · (1 / 2)))
25		2cn 12318	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
26		2ne0 12347	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≠ 0
27	25, 26	recidi 11976	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · (1 / 2)) = 1
28	24, 27	eqtrdi 2784	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → (2 · 𝑋) = 1)
29	28	fveq2d 6901	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → (𝐹‘(2 · 𝑋)) = (𝐹‘1))
30	28	oveq1d 7435	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → ((2 · 𝑋) − 1) = (1 − 1))
31		1m1e0 12315	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 − 1) = 0
32	30, 31	eqtrdi 2784	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → ((2 · 𝑋) − 1) = 0)
33	32	fveq2d 6901	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1)) = (𝐺‘0))
34	13, 29, 33	3eqtr4d 2778	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → (𝐹‘(2 · 𝑋)) = (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1)))
35	34	ifeq1d 4548	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))) = if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))))
36		ifid 4569	. . . . 5 ⊢ if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))) = (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))
37	35, 36	eqtrdi 2784	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))) = (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1)))
38	37	expr 456	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → (𝑋 ≤ (1 / 2) → if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))) = (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))))
39		iffalse 4538	. . 3 ⊢ (¬ 𝑋 ≤ (1 / 2) → if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))) = (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1)))
40	38, 39	pm2.61d1 180	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))) = (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1)))
41	11, 40	eqtrd 2768	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘𝑋) = (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ⊆ wss 3947  ifcif 4529   class class class wbr 5148  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  ℝcr 11138  0cc0 11139  1c1 11140   · cmul 11144   ≤ cle 11280   − cmin 11475   / cdiv 11902  2c2 12298  [,]cicc 13360   Cn ccn 23141  IIcii 24808  *_𝑝cpco 24940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-2 12306  df-icc 13364  df-top 22809  df-topon 22826  df-cn 23144  df-pco 24945

This theorem is referenced by:  pcoass  24964  pcorevlem  24966

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »