MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ppiublem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ppiublem2 27176
Description: A prime greater than 3 does not divide 2 or 3, so its residue mod 6 is 1 or 5. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
ppiublem2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})

Proof of Theorem ppiublem2
StepHypRef Expression
1 prmz 16647 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
21adantr 479 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℤ)
3 6nn 12332 . . . 4 6 ∈ ℕ
4 zmodfz 13892 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℕ) → (𝑃 mod 6) ∈ (0...(6 − 1)))
52, 3, 4sylancl 584 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (𝑃 mod 6) ∈ (0...(6 − 1)))
6 6m1e5 12374 . . . 4 (6 − 1) = 5
76oveq2i 7429 . . 3 (0...(6 − 1)) = (0...5)
85, 7eleqtrdi 2835 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (𝑃 mod 6) ∈ (0...5))
9 6re 12333 . . . . . . . . . . 11 6 ∈ ℝ
109leidi 11779 . . . . . . . . . 10 6 ≤ 6
11 noel 4330 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ (𝑃 mod 6) ∈ ∅
1211pm2.21i 119 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 mod 6) ∈ ∅ → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})
13 5lt6 12424 . . . . . . . . . . . . 13 5 < 6
143nnzi 12617 . . . . . . . . . . . . . 14 6 ∈ ℤ
15 5nn 12329 . . . . . . . . . . . . . . 15 5 ∈ ℕ
1615nnzi 12617 . . . . . . . . . . . . . 14 5 ∈ ℤ
17 fzn 13550 . . . . . . . . . . . . . 14 ((6 ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ) → (5 < 6 ↔ (6...5) = ∅))
1814, 16, 17mp2an 690 . . . . . . . . . . . . 13 (5 < 6 ↔ (6...5) = ∅)
1913, 18mpbi 229 . . . . . . . . . . . 12 (6...5) = ∅
2012, 19eleq2s 2843 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 mod 6) ∈ (6...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})
2120a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (6...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}))
2210, 21pm3.2i 469 . . . . . . . . 9 (6 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (6...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
23 5nn0 12523 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℕ0
24 df-6 12310 . . . . . . . . 9 6 = (5 + 1)
2515elexi 3482 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ V
2625prid2 4769 . . . . . . . . . 10 5 ∈ {1, 5}
27263mix3i 1332 . . . . . . . . 9 (2 ∥ 5 ∨ 3 ∥ 5 ∨ 5 ∈ {1, 5})
2822, 23, 24, 27ppiublem1 27175 . . . . . . . 8 (5 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (5...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
29 4nn0 12522 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ0
30 df-5 12309 . . . . . . . 8 5 = (4 + 1)
31 z4even 16350 . . . . . . . . 9 2 ∥ 4
32313mix1i 1330 . . . . . . . 8 (2 ∥ 4 ∨ 3 ∥ 4 ∨ 4 ∈ {1, 5})
3328, 29, 30, 32ppiublem1 27175 . . . . . . 7 (4 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (4...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
34 3nn0 12521 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ0
35 df-4 12308 . . . . . . 7 4 = (3 + 1)
36 3z 12626 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℤ
37 iddvds 16248 . . . . . . . . 9 (3 ∈ ℤ → 3 ∥ 3)
3836, 37ax-mp 5 . . . . . . . 8 3 ∥ 3
39383mix2i 1331 . . . . . . 7 (2 ∥ 3 ∨ 3 ∥ 3 ∨ 3 ∈ {1, 5})
4033, 34, 35, 39ppiublem1 27175 . . . . . 6 (3 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (3...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
41 2nn0 12520 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
42 df-3 12307 . . . . . 6 3 = (2 + 1)
43 z2even 16348 . . . . . . 7 2 ∥ 2
44433mix1i 1330 . . . . . 6 (2 ∥ 2 ∨ 3 ∥ 2 ∨ 2 ∈ {1, 5})
4540, 41, 42, 44ppiublem1 27175 . . . . 5 (2 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (2...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
46 1nn0 12519 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
47 df-2 12306 . . . . 5 2 = (1 + 1)
48 1ex 11241 . . . . . . 7 1 ∈ V
4948prid1 4768 . . . . . 6 1 ∈ {1, 5}
50493mix3i 1332 . . . . 5 (2 ∥ 1 ∨ 3 ∥ 1 ∨ 1 ∈ {1, 5})
5145, 46, 47, 50ppiublem1 27175 . . . 4 (1 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (1...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
52 0nn0 12518 . . . 4 0 ∈ ℕ0
53 1e0p1 12750 . . . 4 1 = (0 + 1)
54 z0even 16345 . . . . 5 2 ∥ 0
55543mix1i 1330 . . . 4 (2 ∥ 0 ∨ 3 ∥ 0 ∨ 0 ∈ {1, 5})
5651, 52, 53, 55ppiublem1 27175 . . 3 (0 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (0...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
5756simpri 484 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (0...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}))
588, 57mpd 15 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  c0 4322  {cpr 4632   class class class wbr 5149  (class class class)co 7418  0cc0 11139  1c1 11140   < clt 11279  cle 11280  cmin 11475  cn 12243  2c2 12298  3c3 12299  4c4 12300  5c5 12301  6c6 12302  cz 12589  ...cfz 13517   mod cmo 13868  cdvds 16232  cprime 16643
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6306  df-ord 6373  df-on 6374  df-lim 6375  df-suc 6376  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7374  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-2o 8487  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-sup 9466  df-inf 9467  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-rp 13008  df-fz 13518  df-fl 13791  df-mod 13869  df-seq 14001  df-exp 14061  df-cj 15080  df-re 15081  df-im 15082  df-sqrt 15216  df-abs 15217  df-dvds 16233  df-prm 16644
This theorem is referenced by:  ppiub  27177
  Copyright terms: Public domain W3C validator
OSZAR »