MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ppiublem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ppiublem2 27166
Description: A prime greater than 3 does not divide 2 or 3, so its residue mod 6 is 1 or 5. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
ppiublem2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})

Proof of Theorem ppiublem2
StepHypRef Expression
1 prmz 16645 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
21adantr 479 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℤ)
3 6nn 12331 . . . 4 6 ∈ ℕ
4 zmodfz 13890 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℕ) → (𝑃 mod 6) ∈ (0...(6 − 1)))
52, 3, 4sylancl 584 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (𝑃 mod 6) ∈ (0...(6 − 1)))
6 6m1e5 12373 . . . 4 (6 − 1) = 5
76oveq2i 7428 . . 3 (0...(6 − 1)) = (0...5)
85, 7eleqtrdi 2835 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (𝑃 mod 6) ∈ (0...5))
9 6re 12332 . . . . . . . . . . 11 6 ∈ ℝ
109leidi 11778 . . . . . . . . . 10 6 ≤ 6
11 noel 4331 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ (𝑃 mod 6) ∈ ∅
1211pm2.21i 119 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 mod 6) ∈ ∅ → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})
13 5lt6 12423 . . . . . . . . . . . . 13 5 < 6
143nnzi 12616 . . . . . . . . . . . . . 14 6 ∈ ℤ
15 5nn 12328 . . . . . . . . . . . . . . 15 5 ∈ ℕ
1615nnzi 12616 . . . . . . . . . . . . . 14 5 ∈ ℤ
17 fzn 13549 . . . . . . . . . . . . . 14 ((6 ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ) → (5 < 6 ↔ (6...5) = ∅))
1814, 16, 17mp2an 690 . . . . . . . . . . . . 13 (5 < 6 ↔ (6...5) = ∅)
1913, 18mpbi 229 . . . . . . . . . . . 12 (6...5) = ∅
2012, 19eleq2s 2843 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 mod 6) ∈ (6...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})
2120a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (6...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}))
2210, 21pm3.2i 469 . . . . . . . . 9 (6 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (6...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
23 5nn0 12522 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℕ0
24 df-6 12309 . . . . . . . . 9 6 = (5 + 1)
2515elexi 3484 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ V
2625prid2 4768 . . . . . . . . . 10 5 ∈ {1, 5}
27263mix3i 1332 . . . . . . . . 9 (2 ∥ 5 ∨ 3 ∥ 5 ∨ 5 ∈ {1, 5})
2822, 23, 24, 27ppiublem1 27165 . . . . . . . 8 (5 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (5...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
29 4nn0 12521 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ0
30 df-5 12308 . . . . . . . 8 5 = (4 + 1)
31 z4even 16348 . . . . . . . . 9 2 ∥ 4
32313mix1i 1330 . . . . . . . 8 (2 ∥ 4 ∨ 3 ∥ 4 ∨ 4 ∈ {1, 5})
3328, 29, 30, 32ppiublem1 27165 . . . . . . 7 (4 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (4...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
34 3nn0 12520 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ0
35 df-4 12307 . . . . . . 7 4 = (3 + 1)
36 3z 12625 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℤ
37 iddvds 16246 . . . . . . . . 9 (3 ∈ ℤ → 3 ∥ 3)
3836, 37ax-mp 5 . . . . . . . 8 3 ∥ 3
39383mix2i 1331 . . . . . . 7 (2 ∥ 3 ∨ 3 ∥ 3 ∨ 3 ∈ {1, 5})
4033, 34, 35, 39ppiublem1 27165 . . . . . 6 (3 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (3...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
41 2nn0 12519 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
42 df-3 12306 . . . . . 6 3 = (2 + 1)
43 z2even 16346 . . . . . . 7 2 ∥ 2
44433mix1i 1330 . . . . . 6 (2 ∥ 2 ∨ 3 ∥ 2 ∨ 2 ∈ {1, 5})
4540, 41, 42, 44ppiublem1 27165 . . . . 5 (2 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (2...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
46 1nn0 12518 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
47 df-2 12305 . . . . 5 2 = (1 + 1)
48 1ex 11240 . . . . . . 7 1 ∈ V
4948prid1 4767 . . . . . 6 1 ∈ {1, 5}
50493mix3i 1332 . . . . 5 (2 ∥ 1 ∨ 3 ∥ 1 ∨ 1 ∈ {1, 5})
5145, 46, 47, 50ppiublem1 27165 . . . 4 (1 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (1...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
52 0nn0 12517 . . . 4 0 ∈ ℕ0
53 1e0p1 12749 . . . 4 1 = (0 + 1)
54 z0even 16343 . . . . 5 2 ∥ 0
55543mix1i 1330 . . . 4 (2 ∥ 0 ∨ 3 ∥ 0 ∨ 0 ∈ {1, 5})
5651, 52, 53, 55ppiublem1 27165 . . 3 (0 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (0...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
5756simpri 484 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (0...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}))
588, 57mpd 15 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  c0 4323  {cpr 4631   class class class wbr 5148  (class class class)co 7417  0cc0 11138  1c1 11139   < clt 11278  cle 11279  cmin 11474  cn 12242  2c2 12297  3c3 12298  4c4 12299  5c5 12300  6c6 12301  cz 12588  ...cfz 13516   mod cmo 13866  cdvds 16230  cprime 16641
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7870  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-dvds 16231  df-prm 16642
This theorem is referenced by:  ppiub  27167
  Copyright terms: Public domain W3C validator
OSZAR »