Theorem pzriprngALT 21414

Description: The non-unital ring (ℤ_ring ×_s ℤ_ring) is unital because it has the two-sided ideal (ℤ × {0}), which is unital, and the quotient of the ring and the ideal is also unital (using ring2idlqusb 21193). (Contributed by AV, 23-Mar-2025.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
pzriprngALT	⊢ (ℤring ×s ℤring) ∈ Ring

Proof of Theorem pzriprngALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7422	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = (ℤ × {0}) → ((ℤring ×s ℤring) ↾s 𝑖) = ((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})))
2	1	eleq1d 2814	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = (ℤ × {0}) → (((ℤring ×s ℤring) ↾s 𝑖) ∈ Ring ↔ ((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})) ∈ Ring))
3		oveq2 7422	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (ℤ × {0}) → ((ℤring ×s ℤring) ~QG 𝑖) = ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0})))
4	3	oveq2d 7430	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = (ℤ × {0}) → ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG 𝑖)) = ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))))
5	4	eleq1d 2814	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = (ℤ × {0}) → (((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG 𝑖)) ∈ Ring ↔ ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))) ∈ Ring))
6	2, 5	anbi12d 631	. . . 4 ⊢ (𝑖 = (ℤ × {0}) → ((((ℤring ×s ℤring) ↾s 𝑖) ∈ Ring ∧ ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG 𝑖)) ∈ Ring) ↔ (((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})) ∈ Ring ∧ ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))) ∈ Ring)))
7		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (ℤring ×s ℤring) = (ℤring ×s ℤring)
8		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (ℤ × {0}) = (ℤ × {0})
9		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ ((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})) = ((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0}))
10	7, 8, 9	pzriprnglem8 21407	. . . . 5 ⊢ (ℤ × {0}) ∈ (2Ideal‘(ℤring ×s ℤring))
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℤ × {0}) ∈ (2Ideal‘(ℤring ×s ℤring)))
12	7, 8, 9	pzriprnglem7 21406	. . . . . 6 ⊢ ((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})) ∈ Ring
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})) ∈ Ring)
14		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0}))) = (1r‘((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})))
15		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0})) = ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))
16		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))) = ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0})))
17	7, 8, 9, 14, 15, 16	pzriprnglem13 21412	. . . . 5 ⊢ ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))) ∈ Ring
18	13, 17	jctir 520	. . . 4 ⊢ (⊤ → (((ℤring ×s ℤring) ↾s (ℤ × {0})) ∈ Ring ∧ ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG (ℤ × {0}))) ∈ Ring))
19	6, 11, 18	rspcedvdw 3611	. . 3 ⊢ (⊤ → ∃𝑖 ∈ (2Ideal‘(ℤring ×s ℤring))(((ℤring ×s ℤring) ↾s 𝑖) ∈ Ring ∧ ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG 𝑖)) ∈ Ring))
20	19	mptru 1541	. 2 ⊢ ∃𝑖 ∈ (2Ideal‘(ℤring ×s ℤring))(((ℤring ×s ℤring) ↾s 𝑖) ∈ Ring ∧ ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG 𝑖)) ∈ Ring)
21	7	pzriprnglem1 21400	. . 3 ⊢ (ℤring ×s ℤring) ∈ Rng
22		ring2idlqusb 21193	. . 3 ⊢ ((ℤring ×s ℤring) ∈ Rng → ((ℤring ×s ℤring) ∈ Ring ↔ ∃𝑖 ∈ (2Ideal‘(ℤring ×s ℤring))(((ℤring ×s ℤring) ↾s 𝑖) ∈ Ring ∧ ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG 𝑖)) ∈ Ring)))
23	21, 22	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((ℤring ×s ℤring) ∈ Ring ↔ ∃𝑖 ∈ (2Ideal‘(ℤring ×s ℤring))(((ℤring ×s ℤring) ↾s 𝑖) ∈ Ring ∧ ((ℤring ×s ℤring) /s ((ℤring ×s ℤring) ~QG 𝑖)) ∈ Ring))
24	20, 23	mpbir 230	1 ⊢ (ℤring ×s ℤring) ∈ Ring

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534  ⊤wtru 1535   ∈ wcel 2099  ∃wrex 3066  {csn 4624   × cxp 5670  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11132  ℤcz 12582   ↾_s cress 17202   /_s cqus 17480   ×_s cxps 17481   ~_QG cqg 19070  Rngcrng 20085  1_rcur 20114  Ringcrg 20166  2Idealc2idl 21136  ℤ_ringczring 21365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-addf 11211  ax-mulf 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-ec 8720  df-qs 8724  df-map 8840  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9459  df-inf 9460  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12497  df-z 12583  df-dec 12702  df-uz 12847  df-fz 13511  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-starv 17241  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-unif 17249  df-hom 17250  df-cco 17251  df-0g 17416  df-prds 17422  df-imas 17483  df-qus 17484  df-xps 17485  df-mgm 18593  df-mgmhm 18645  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-grp 18886  df-minusg 18887  df-sbg 18888  df-subg 19071  df-nsg 19072  df-eqg 19073  df-ghm 19161  df-cmn 19730  df-abl 19731  df-mgp 20068  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-cring 20169  df-oppr 20266  df-dvdsr 20289  df-unit 20290  df-invr 20320  df-rnghm 20368  df-rngim 20369  df-subrng 20476  df-subrg 20501  df-lmod 20738  df-lss 20809  df-sra 21051  df-rgmod 21052  df-lidl 21097  df-2idl 21137  df-cnfld 21273  df-zring 21366

This theorem is referenced by: (None)

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »