Theorem smfsuplem2 46200

Description: The supremum of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (b) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfsuplem2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
smfsuplem2.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
smfsuplem2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfsuplem2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smfsuplem2.d	⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
smfsuplem2.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
smfsuplem2.8	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
smfsuplem2	⊢ (𝜑 → (◡𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑦   𝑦,𝐷,𝑥   𝑛,𝐹,𝑦,𝑥   𝑦,𝑆   𝑛,𝑍,𝑦,𝑥   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝐴(𝑥)   𝐷(𝑛)   𝑆(𝑥,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑛)

Proof of Theorem smfsuplem2

Dummy variables ℎ 𝑚 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2899	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑛𝐹
2		smfsuplem2.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		smfsuplem2.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
4		smfsuplem2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
5		eqid 2728	. . 3 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
6		eqid 2728	. . 3 ⊢ (SalGen‘(topGen‘ran (,))) = (SalGen‘(topGen‘ran (,)))
7		mnfxr 11302	. . . . 5 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
9		smfsuplem2.8	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
10	8, 9, 5, 6	iocborel 45744	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-∞(,]𝐴) ∈ (SalGen‘(topGen‘ran (,))))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10	smfpimcc 46196	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃ℎ(ℎ:𝑍⟶𝑆 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛))))
12		smfsuplem2.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
13	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ:𝑍⟶𝑆 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛)))) → 𝑀 ∈ ℤ)
14	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ:𝑍⟶𝑆 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛)))) → 𝑆 ∈ SAlg)
15	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ:𝑍⟶𝑆 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛)))) → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
16		smfsuplem2.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
17		fveq2 6897	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑚))
18	17	dmeqd 5908	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → dom (𝐹‘𝑛) = dom (𝐹‘𝑚))
19	18	cbviinv 5044	. . . . . . . 8 ⊢ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) = ∩ 𝑚 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑚)
20	19	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) = ∩ 𝑚 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑚))
21		fveq2 6897	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑛)‘𝑤))
22	21	breq1d 5158	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦 ↔ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤) ≤ 𝑦))
23	22	ralbidv 3174	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑤) ≤ 𝑦))
24	17	fveq1d 6899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹‘𝑛)‘𝑤) = ((𝐹‘𝑚)‘𝑤))
25	24	breq1d 5158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((𝐹‘𝑛)‘𝑤) ≤ 𝑦 ↔ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦))
26	25	cbvralvw 3231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑤) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦)
27	26	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑤) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦))
28	23, 27	bitrd 279	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦))
29	28	rexbidv 3175	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦))
30	20, 29	cbvrabv2w 44494	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} = {𝑤 ∈ ∩ 𝑚 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑚) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦}
31	16, 30	eqtri 2756	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {𝑤 ∈ ∩ 𝑚 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑚) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦}
32		smfsuplem2.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
33	21	mpteq2dv 5250	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤)))
34	24	cbvmptv 5261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤))
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑤)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
36	33, 35	eqtrd 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
37	36	rneqd 5940	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)) = ran (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)))
38	37	supeq1d 9470	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ) = sup(ran (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)), ℝ, < ))
39	38	cbvmptv 5261	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )) = (𝑤 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)), ℝ, < ))
40	32, 39	eqtri 2756	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑤 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑤)), ℝ, < ))
41	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ:𝑍⟶𝑆 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
42		simprl 770	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ:𝑍⟶𝑆 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛)))) → ℎ:𝑍⟶𝑆)
43		simplrr 777	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℎ:𝑍⟶𝑆 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛)))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ∀𝑛 ∈ 𝑍 (◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛)))
44	17	cnveqd 5878	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ◡(𝐹‘𝑛) = ◡(𝐹‘𝑚))
45	44	imaeq1d 6062	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = (◡(𝐹‘𝑚) “ (-∞(,]𝐴)))
46		fveq2 6897	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (ℎ‘𝑛) = (ℎ‘𝑚))
47	46, 18	ineq12d 4213	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛)) = ((ℎ‘𝑚) ∩ dom (𝐹‘𝑚)))
48	45, 47	eqeq12d 2744	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛)) ↔ (◡(𝐹‘𝑚) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑚) ∩ dom (𝐹‘𝑚))))
49	48	rspccva 3608	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑛 ∈ 𝑍 (◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (◡(𝐹‘𝑚) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑚) ∩ dom (𝐹‘𝑚)))
50	43, 49	sylancom 587	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℎ:𝑍⟶𝑆 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛)))) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (◡(𝐹‘𝑚) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑚) ∩ dom (𝐹‘𝑚)))
51	13, 2, 14, 15, 31, 40, 41, 42, 50	smfsuplem1 46199	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ:𝑍⟶𝑆 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛)))) → (◡𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
52	51	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℎ:𝑍⟶𝑆 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛))) → (◡𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
53	52	exlimdv 1929	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃ℎ(ℎ:𝑍⟶𝑆 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (◡(𝐹‘𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((ℎ‘𝑛) ∩ dom (𝐹‘𝑛))) → (◡𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
54	11, 53	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (◡𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534  ∃wex 1774   ∈ wcel 2099  ∀wral 3058  ∃wrex 3067  {crab 3429   ∩ cin 3946  ∩ ciin 4997   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ^◡ccnv 5677  dom cdm 5678  ran crn 5679   “ cima 5681  ⟶wf 6544  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  supcsup 9464  ℝcr 11138  -∞cmnf 11277  ℝ^*cxr 11278   < clt 11279   ≤ cle 11280  ℤcz 12589  ℤ_≥cuz 12853  (,)cioo 13357  (,]cioc 13358   ↾_t crest 17402  topGenctg 17419  SAlgcsalg 45696  SalGencsalgen 45700  SMblFncsmblfn 46083

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cc 10459  ax-ac2 10487  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-oadd 8491  df-omul 8492  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-card 9963  df-acn 9966  df-ac 10140  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-ioo 13361  df-ioc 13362  df-ico 13363  df-fl 13790  df-rest 17404  df-topgen 17425  df-top 22809  df-bases 22862  df-salg 45697  df-salgen 45701  df-smblfn 46084

This theorem is referenced by:  smfsuplem3  46201

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »