Theorem subsubd 11623

Description: Law for double subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subsubd	⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 − 𝐵) + 𝐶))

Proof of Theorem subsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subsub 11514	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 − 𝐵) + 𝐶))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1369	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 − 𝐵) + 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  (class class class)co 7414  ℂcc 11130   + caddc 11135   − cmin 11468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-ltxr 11277  df-sub 11470

This theorem is referenced by:  subaddmulsub  11701  uzsubsubfz  13549  bcm1k  14300  swrds2m  14918  crre  15087  imval2  15124  cvgcmp  15788  arisum2  15833  mertenslem1  15856  binomfallfaclem2  16010  fallfacval4  16013  bpolydiflem  16024  bpoly3  16028  bpoly4  16029  cos01bnd  16156  prmdiv  16747  vfermltlALT  16764  dvle  25933  dvfsumlem2  25954  dvfsumlem2OLD  25955  efif1olem2  26470  affineequiv  26748  heron  26763  dquart  26778  quartlem1  26782  acosneg  26812  efiatan2  26842  atans2  26856  birthdaylem2  26877  lgamcvg2  26980  wilthlem2  26994  basellem5  27010  gausslemma2dlem1a  27291  pntrlog2bndlem4  27506  pntrlog2bndlem5  27507  pntrlog2bndlem6  27509  colinearalglem2  28711  axsegconlem9  28729  clwlkclwwlklem2a1  29795  clwlkclwwlklem2a4  29800  clwwlkext2edg  29859  numclwwlk1lem2foalem  30154  numclwwlk1lem2fo  30161  wrdt2ind  32668  subfacp1lem5  34788  poimirlem29  37116  itg2addnclem  37138  itg2addnclem3  37140  bcle2d  41645  rmspecsqrtnq  42320  sub31  44666  infleinflem2  44747  stoweidlem26  45408  fourierdlem19  45508  fourierdlem63  45551  fourierdlem107  45595  ovolval5lem1  46034  fmtnorec4  46883  itcovalt2lem2lem2  47741

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »