dvfsumlem2 - Metamath Proof Explorer

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Theorem dvfsumlem2 26052

Description: Lemma for dvfsumrlim 26057. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.) Avoid ax-mulf 11238. (Revised by GG, 16-Mar-2025.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
dvfsum.s	⊢ 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
dvfsum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ_≥‘𝑀)
dvfsum.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
dvfsum.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
dvfsum.md	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
dvfsum.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
dvfsum.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
dvfsum.b1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑉)
dvfsum.b2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
dvfsum.b3	⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
dvfsum.c	⊢ (𝑥 = 𝑘 → 𝐵 = 𝐶)
dvfsum.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ^*)
dvfsum.l	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
dvfsum.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 − 𝐴)))
dvfsumlem1.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
dvfsumlem1.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑆)
dvfsumlem1.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ 𝑋)
dvfsumlem1.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
dvfsumlem1.5	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝑈)
dvfsumlem1.6	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))

**Assertion**
Ref	Expression
dvfsumlem2	⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝑌) ≤ (𝐻‘𝑋) ∧ ((𝐻‘𝑋) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ≤ ((𝐻‘𝑌) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)))

Distinct variable groups: 𝐵,𝑘 𝑥,𝐶 𝑥,𝑘,𝐷 𝜑,𝑘,𝑥 𝑆,𝑘,𝑥 𝑘,𝑀,𝑥 𝑥,𝑇 𝑘,𝑌,𝑥 𝑥,𝑍 𝑈,𝑘,𝑥 𝑘,𝑋,𝑥 Allowed substitution hints: 𝐴(𝑥,𝑘) 𝐵(𝑥) 𝐶(𝑘) 𝑇(𝑘) 𝐻(𝑥,𝑘) 𝑉(𝑥,𝑘) 𝑍(𝑘)

Proof of Theorem dvfsumlem2 Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑚 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvfsum.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
2		ioossre 13439	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇(,)+∞) ⊆ ℝ
3	1, 2	eqsstri 4014	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 ⊆ ℝ
4		dvfsumlem1.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑆)
5	3, 4	sselid 3977	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
6		dvfsumlem1.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
7	6, 1	eleqtrdi 2836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑇(,)+∞))
8		dvfsum.t	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
9	8	rexrd 11314	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ^*)
10		elioopnf 13474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∈ ℝ^* → (𝑋 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑋)))
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑋)))
12	7, 11	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑋))
13	12	simpld 493	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
14		reflcl 13816	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (⌊‘𝑋) ∈ ℝ)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝑋) ∈ ℝ)
16	5, 15	resubcld 11692	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − (⌊‘𝑋)) ∈ ℝ)
17		csbeq1 3895	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)
18	17	eleq1d 2811	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ))
19	3	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℝ)
20		dvfsum.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
21		dvfsum.b1	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑉)
22		dvfsum.b3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
23	19, 20, 21, 22	dvmptrecl 26049	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ ℝ)
24	23	fmpttd 7129	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵):𝑆⟶ℝ)
25		nfcv 2892	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦𝐵
26		nfcsb1v 3917	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
27		csbeq1a 3906	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
28	25, 26, 27	cbvmpt 5264	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
29	28	fmpt 7124	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑆 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵):𝑆⟶ℝ)
30	24, 29	sylibr 233	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ)
31	18, 30, 4	rspcdva 3609	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ)
32	16, 31	remulcld 11294	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℝ)
33		csbeq1 3895	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 = ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)
34	33	eleq1d 2811	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ))
35	20	fmpttd 7129	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴):𝑆⟶ℝ)
36		nfcv 2892	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦𝐴
37		nfcsb1v 3917	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴
38		csbeq1a 3906	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐴 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴)
39	36, 37, 38	cbvmpt 5264	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴)
40	39	fmpt 7124	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑆 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴):𝑆⟶ℝ)
41	35, 40	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ)
42	34, 41, 4	rspcdva 3609	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ)
43	32, 42	resubcld 11692	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) ∈ ℝ)
44	13, 15	resubcld 11692	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (⌊‘𝑋)) ∈ ℝ)
45		csbeq1 3895	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
46	45	eleq1d 2811	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ))
47	46, 30, 6	rspcdva 3609	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ)
48	44, 47	remulcld 11294	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℝ)
49		csbeq1 3895	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 = ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)
50	49	eleq1d 2811	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ))
51	50, 41, 6	rspcdva 3609	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ)
52	48, 51	resubcld 11692	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ∈ ℝ)
53		fzfid 13993	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(⌊‘𝑋)) ∈ Fin)
54		dvfsum.b2	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
55	54	ralrimiva 3136	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝐵 ∈ ℝ)
56		elfzuz 13551	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋)) → 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
57		dvfsum.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ_≥‘𝑀)
58	56, 57	eleqtrrdi 2837	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
59		dvfsum.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → 𝐵 = 𝐶)
60	59	eleq1d 2811	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝐶 ∈ ℝ))
61	60	rspccva 3607	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑍 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐶 ∈ ℝ)
62	55, 58, 61	syl2an 594	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))) → 𝐶 ∈ ℝ)
63	53, 62	fsumrecl 15738	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 ∈ ℝ)
64	44, 31	remulcld 11294	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℝ)
65	64, 51	resubcld 11692	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ∈ ℝ)
66	5, 13	resubcld 11692	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑋) ∈ ℝ)
67	31, 66	remulcld 11294	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋)) ∈ ℝ)
68	31	recnd 11292	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
69	5	recnd 11292	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
70	13	recnd 11292	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
71	68, 69, 70	subdid 11720	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋)) = ((⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑌) − (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑋)))
72		eqid 2726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = (TopOpen‘ℂ_fld)
73	72	mpomulcn 24876	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ (((TopOpen‘ℂ_fld) ×_t (TopOpen‘ℂ_fld)) Cn (TopOpen‘ℂ_fld))
74		csbeq1 3895	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 = ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)
75	74	eleq1d 2811	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ))
76		nfcv 2892	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑧𝐵
77		nfcsb1v 3917	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵
78		csbeq1a 3906	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → 𝐵 = ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵)
79	76, 77, 78	cbvmpt 5264	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵)
80	79	fmpt 7124	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑆 ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵):𝑆⟶ℝ)
81	24, 80	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝑆 ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ)
82	75, 81, 4	rspcdva 3609	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ)
83		pnfxr 11318	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ +∞ ∈ ℝ^*
84	83	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ^*)
85	12	simprd 494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑇 < 𝑋)
86	5	ltpnfd 13155	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑌 < +∞)
87		iccssioo 13447	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑇 ∈ ℝ^* ∧ +∞ ∈ ℝ^*) ∧ (𝑇 < 𝑋 ∧ 𝑌 < +∞)) → (𝑋[,]𝑌) ⊆ (𝑇(,)+∞))
88	9, 84, 85, 86, 87	syl22anc 837	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) ⊆ (𝑇(,)+∞))
89	88, 2	sstrdi 3992	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)
90		ax-resscn 11215	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
91	89, 90	sstrdi 3992	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℂ)
92	90	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
93		cncfmptc 24923	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
94	82, 91, 92, 93	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
95		cncfmptid 24924	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝑦) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
96	89, 90, 95	sylancl 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝑦) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
97		remulcl 11243	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦) ∈ ℝ)
98		simpl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ)
99	98	recnd 11292	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
100		simpr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
101	100	recnd 11292	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
102	99, 101	jca 510	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ))
103		ovmpot 7587	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦) = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦))
104	103	eqcomd 2732	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦) = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦))
105	102, 104	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦) = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦))
106	105	eleq1d 2811	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦) ∈ ℝ ↔ (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦) ∈ ℝ))
107	106	biimpd 228	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦) ∈ ℝ → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦) ∈ ℝ))
108	97, 107	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦) ∈ ℝ)
109	72, 73, 94, 96, 90, 108	cncfmpt2ss 24927	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦)) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
110		df-mpt 5237	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦)) = {⟨𝑦, 𝑤⟩ ∣ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦))}
111	110	eleq1i 2817	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦)) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ) ↔ {⟨𝑦, 𝑤⟩ ∣ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦))} ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
112	111	biimpi 215	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦)) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ) → {⟨𝑦, 𝑤⟩ ∣ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦))} ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
113	109, 112	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑦, 𝑤⟩ ∣ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦))} ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
114		idd 24	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) → 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)))
115	114	a1dd 50	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) → (𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦) → 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌))))
116	115	impd 409	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦)) → 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)))
117		csbeq1 3895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑚 = 𝑌 → ⦋𝑚 / 𝑥⦌𝐵 = ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)
118	117	eleq1d 2811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑚 = 𝑌 → (⦋𝑚 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ))
119		nfcv 2892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ Ⅎ𝑚𝐵
120		nfcsb1v 3917	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑚 / 𝑥⦌𝐵
121		csbeq1a 3906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑥 = 𝑚 → 𝐵 = ⦋𝑚 / 𝑥⦌𝐵)
122	119, 120, 121	cbvmpt 5264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) = (𝑚 ∈ 𝑆 ↦ ⦋𝑚 / 𝑥⦌𝐵)
123	122	fmpt 7124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (∀𝑚 ∈ 𝑆 ⦋𝑚 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵):𝑆⟶ℝ)
124	24, 123	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ 𝑆 ⦋𝑚 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ)
125	118, 124, 4	rspcdva 3609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ)
126	125	recnd 11292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
127	126	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
128		elicc2 13443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑌)))
129	13, 5, 128	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑌)))
130	129	biimpa 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑌))
131	130	simp1d 1139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑦 ∈ ℝ)
132	131	recnd 11292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑦 ∈ ℂ)
133	127, 132	jca 510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ))
134	133, 103	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦) = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦))
135	134	eqeq2d 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → (𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦) ↔ 𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦)))
136	135	biimpd 228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → (𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦) → 𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦)))
137	136	ex 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) → (𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦) → 𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦))))
138	137	impd 409	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦)) → 𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦)))
139	116, 138	jcad 511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦)) → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦))))
140	114	a1dd 50	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) → (𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦) → 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌))))
141	140	impd 409	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦)) → 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)))
142		csbeq1 3895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑘 = 𝑌 → ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 = ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)
143	142	eleq1d 2811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑘 = 𝑌 → (⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ))
144		nfcv 2892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ Ⅎ𝑘𝐵
145		nfcsb1v 3917	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵
146		csbeq1a 3906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → 𝐵 = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵)
147	144, 145, 146	cbvmpt 5264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵)
148	147	fmpt 7124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝑆 ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵):𝑆⟶ℝ)
149	24, 148	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑆 ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ)
150	143, 149, 4	rspcdva 3609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ)
151	150	recnd 11292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
152	151	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
153	152, 132	jca 510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ))
154	153, 104	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦) = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦))
155	154	eqeq2d 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → (𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦) ↔ 𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦)))
156	155	biimpd 228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → (𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦) → 𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦)))
157	156	ex 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) → (𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦) → 𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦))))
158	157	impd 409	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦)) → 𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦)))
159	141, 158	jcad 511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦)) → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦))))
160	139, 159	impbid 211	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦)) ↔ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦))))
161	160	opabbidv 5219	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑦, 𝑤⟩ ∣ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦))} = {⟨𝑦, 𝑤⟩ ∣ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦))})
162		df-mpt 5237	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦)) = {⟨𝑦, 𝑤⟩ ∣ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦))}
163	162	eqcomi 2735	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ {⟨𝑦, 𝑤⟩ ∣ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦))} = (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦))
164	163	eqeq2i 2739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({⟨𝑦, 𝑤⟩ ∣ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦))} = {⟨𝑦, 𝑤⟩ ∣ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦))} ↔ {⟨𝑦, 𝑤⟩ ∣ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦))} = (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦)))
165	164	biimpi 215	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({⟨𝑦, 𝑤⟩ ∣ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦))} = {⟨𝑦, 𝑤⟩ ∣ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦))} → {⟨𝑦, 𝑤⟩ ∣ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦))} = (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦)))
166	161, 165	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑦, 𝑤⟩ ∣ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦))} = (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦)))
167	166	eleq1d 2811	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝑦, 𝑤⟩ ∣ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦))} ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ) ↔ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦)) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ)))
168	167	biimpd 228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝑦, 𝑤⟩ ∣ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦))} ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ) → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦)) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ)))
169	113, 168	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦)) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
170		reelprrecn 11250	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
171	170	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
172		ioossicc 13464	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌)
173	172, 89	sstrid 3991	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ ℝ)
174	173	sselda 3979	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑦 ∈ ℝ)
175	174	recnd 11292	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑦 ∈ ℂ)
176		1cnd 11259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 1 ∈ ℂ)
177		simpr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
178	177	recnd 11292	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
179		1cnd 11259	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
180	171	dvmptid 25980	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 1))
181	72	tgioo2 24810	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ)
182		iooretop 24773	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋(,)𝑌) ∈ (topGen‘ran (,))
183	182	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ∈ (topGen‘ran (,)))
184	171, 178, 179, 180, 173, 181, 72, 183	dvmptres 25986	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 1))
185	171, 175, 176, 184, 68	dvmptcmul 25987	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 1)))
186	68	mulridd 11281	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 1) = ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)
187	186	mpteq2dv 5255	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 1)) = (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
188	185, 187	eqtrd 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
189	88, 1	sseqtrrdi 4031	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) ⊆ 𝑆)
190	189	resmptd 6049	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴) ↾ (𝑋[,]𝑌)) = (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴))
191	20	recnd 11292	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℂ)
192	191	fmpttd 7129	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴):𝑆⟶ℂ)
193	22	dmeqd 5912	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
194	21	ralrimiva 3136	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐵 ∈ 𝑉)
195		dmmptg 6253	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐵 ∈ 𝑉 → dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) = 𝑆)
196	194, 195	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) = 𝑆)
197	193, 196	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = 𝑆)
198		dvcn 25942	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴):𝑆⟶ℂ ∧ 𝑆 ⊆ ℝ) ∧ dom (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (𝑆–cn→ℂ))
199	92, 192, 19, 197, 198	syl31anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (𝑆–cn→ℂ))
200		cncfcdm 24909	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (𝑆–cn→ℂ)) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (𝑆–cn→ℝ) ↔ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴):𝑆⟶ℝ))
201	90, 199, 200	sylancr 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (𝑆–cn→ℝ) ↔ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴):𝑆⟶ℝ))
202	35, 201	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (𝑆–cn→ℝ))
203	39, 202	eqeltrrid 2831	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴) ∈ (𝑆–cn→ℝ))
204		rescncf 24908	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋[,]𝑌) ⊆ 𝑆 → ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴) ∈ (𝑆–cn→ℝ) → ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴) ↾ (𝑋[,]𝑌)) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ)))
205	189, 203, 204	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴) ↾ (𝑋[,]𝑌)) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
206	190, 205	eqeltrrd 2827	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
207	41	r19.21bi 3239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ)
208	207	recnd 11292	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)
209	30	r19.21bi 3239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ)
210	39	oveq2i 7435	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (ℝ D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴))
211	22, 210, 28	3eqtr3g 2789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴)) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))
212	172, 189	sstrid 3991	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ 𝑆)
213	171, 208, 209, 211, 212, 181, 72, 183	dvmptres 25986	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴)) = (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))
214	172	sseli 3975	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) → 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌))
215		simpl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝜑)
216	189	sselda 3979	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑦 ∈ 𝑆)
217	4	adantr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝑆)
218		dvfsum.d	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
219	218	adantr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝐷 ∈ ℝ)
220	13	adantr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑋 ∈ ℝ)
221		dvfsumlem1.3	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ 𝑋)
222	221	adantr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝐷 ≤ 𝑋)
223	130	simp2d 1140	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑋 ≤ 𝑦)
224	219, 220, 131, 222, 223	letrd 11421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝐷 ≤ 𝑦)
225	130	simp3d 1141	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑦 ≤ 𝑌)
226		dvfsumlem1.5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝑈)
227	226	adantr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑌 ≤ 𝑈)
228		simp2r 1197	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑈)) → 𝑌 ∈ 𝑆)
229		eleq1 2814	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑌 → (𝑘 ∈ 𝑆 ↔ 𝑌 ∈ 𝑆))
230	229	anbi2d 628	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑌 → ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ↔ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆)))
231		breq2 5157	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑌 → (𝑦 ≤ 𝑘 ↔ 𝑦 ≤ 𝑌))
232		breq1 5156	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑌 → (𝑘 ≤ 𝑈 ↔ 𝑌 ≤ 𝑈))
233	231, 232	3anbi23d 1436	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑌 → ((𝐷 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈) ↔ (𝐷 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑈)))
234	230, 233	3anbi23d 1436	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑌 → ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑈))))
235		vex 3466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑘 ∈ V
236	235, 59	csbie 3928	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐶
237	236, 142	eqtr3id 2780	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑌 → 𝐶 = ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)
238	237	breq1d 5163	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑌 → (𝐶 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↔ ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))
239	234, 238	imbi12d 343	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑌 → (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝐶 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑈)) → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)))
240		nfv 1910	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈))
241		nfcv 2892	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
242		nfcv 2892	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥 ≤
243	241, 242, 26	nfbr 5200	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐶 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
244	240, 243	nfim 1892	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝐶 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
245		eleq1 2814	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↔ 𝑦 ∈ 𝑆))
246	245	anbi1d 629	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ↔ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆)))
247		breq2 5157	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐷 ≤ 𝑥 ↔ 𝐷 ≤ 𝑦))
248		breq1 5156	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ≤ 𝑘 ↔ 𝑦 ≤ 𝑘))
249	247, 248	3anbi12d 1434	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈) ↔ (𝐷 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)))
250	246, 249	3anbi23d 1436	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈))))
251	27	breq2d 5165	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐶 ≤ 𝐵 ↔ 𝐶 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))
252	250, 251	imbi12d 343	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝐶 ≤ 𝐵) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝐶 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)))
253		dvfsum.l	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
254	244, 252, 253	chvarfv 2229	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝐶 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
255	239, 254	vtoclg 3534	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑆 → ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑈)) → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))
256	228, 255	mpcom 38	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑈)) → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
257	215, 216, 217, 224, 225, 227, 256	syl123anc 1384	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
258	214, 257	sylan2 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
259	13	rexrd 11314	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ^*)
260	5	rexrd 11314	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ^*)
261		dvfsumlem1.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
262		lbicc2 13495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑌 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝑋 ∈ (𝑋[,]𝑌))
263	259, 260, 261, 262	syl3anc 1368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑋[,]𝑌))
264		ubicc2 13496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑌 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝑌 ∈ (𝑋[,]𝑌))
265	259, 260, 261, 264	syl3anc 1368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋[,]𝑌))
266		oveq2 7432	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦) = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑋))
267		oveq2 7432	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦) = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑌))
268	13, 5, 169, 188, 206, 213, 258, 263, 265, 261, 266, 49, 267, 33	dvle 26031	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑌) − (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑋)) ≤ (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))
269	71, 268	eqbrtrd 5175	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋)) ≤ (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))
270	67, 42, 51, 269	lesubd 11868	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴 ≤ (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 − (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋))))
271	64	recnd 11292	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℂ)
272	32	recnd 11292	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℂ)
273	42	recnd 11292	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)
274	271, 272, 273	subsubd 11649	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) = ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)) + ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
275	272, 271	negsubdi2d 11637	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -(((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)) = (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)))
276	15	recnd 11292	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝑋) ∈ ℂ)
277	69, 70, 276	nnncan2d 11656	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − (𝑋 − (⌊‘𝑋))) = (𝑌 − 𝑋))
278	277	oveq1d 7439	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − (𝑋 − (⌊‘𝑋))) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) = ((𝑌 − 𝑋) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
279	16	recnd 11292	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − (⌊‘𝑋)) ∈ ℂ)
280	44	recnd 11292	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (⌊‘𝑋)) ∈ ℂ)
281	279, 280, 68	subdird 11721	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − (𝑋 − (⌊‘𝑋))) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)))
282	66	recnd 11292	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑋) ∈ ℂ)
283	282, 68	mulcomd 11285	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − 𝑋) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋)))
284	278, 281, 283	3eqtr3d 2774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)) = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋)))
285	284	negeqd 11504	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -(((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)) = -(⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋)))
286	275, 285	eqtr3d 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)) = -(⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋)))
287	286	oveq1d 7439	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)) + ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) = (-(⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋)) + ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
288	67	recnd 11292	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋)) ∈ ℂ)
289	288, 273	negsubdid 11636	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -((⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋)) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) = (-(⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋)) + ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
290	287, 289	eqtr4d 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)) + ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) = -((⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋)) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
291	288, 273	negsubdi2d 11637	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -((⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋)) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 − (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋))))
292	274, 290, 291	3eqtrd 2770	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 − (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋))))
293	270, 292	breqtrrd 5181	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴 ≤ (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)))
294	51, 64, 43, 293	lesubd 11868	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) ≤ (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))
295		flle 13819	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (⌊‘𝑋) ≤ 𝑋)
296	13, 295	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝑋) ≤ 𝑋)
297	13, 15	subge0d 11854	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝑋 − (⌊‘𝑋)) ↔ (⌊‘𝑋) ≤ 𝑋))
298	296, 297	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑋 − (⌊‘𝑋)))
299	45	breq2d 5165	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↔ ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
300	257	ralrimiva 3136	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
301	299, 300, 263	rspcdva 3609	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
302	31, 47, 44, 298, 301	lemul2ad 12206	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) ≤ ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
303	64, 48, 51, 302	lesub1dd 11880	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ≤ (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))
304	43, 65, 52, 294, 303	letrd 11421	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) ≤ (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))
305	43, 52, 63, 304	leadd1dd 11878	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶) ≤ ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶))
306		dvfsum.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
307		dvfsum.md	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
308		dvfsum.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ^*)
309		dvfsum.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 − 𝐴)))
310		dvfsumlem1.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
311	1, 57, 306, 218, 307, 8, 20, 21, 54, 22, 59, 308, 253, 309, 6, 4, 221, 261, 226, 310	dvfsumlem1 26051	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑌) = ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶))
312	13	leidd 11830	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑋)
313	259, 260, 308, 261, 226	xrletrd 13195	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑈)
314		fllep1 13821	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → 𝑋 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
315	13, 314	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
316	1, 57, 306, 218, 307, 8, 20, 21, 54, 22, 59, 308, 253, 309, 6, 6, 221, 312, 313, 315	dvfsumlem1 26051	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑋) = ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶))
317	305, 311, 316	3brtr4d 5185	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑌) ≤ (𝐻‘𝑋))
318	52, 47	resubcld 11692	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℝ)
319	43, 31	resubcld 11692	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℝ)
320		peano2rem 11577	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) ∈ ℝ → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) ∈ ℝ)
321	44, 320	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) ∈ ℝ)
322	321, 47	remulcld 11294	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℝ)
323	322, 51	resubcld 11692	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ∈ ℝ)
324		peano2rem 11577	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) ∈ ℝ → ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) ∈ ℝ)
325	16, 324	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) ∈ ℝ)
326	325, 47	remulcld 11294	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℝ)
327	326, 42	resubcld 11692	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) ∈ ℝ)
328	325, 31	remulcld 11294	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℝ)
329	328, 42	resubcld 11692	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) ∈ ℝ)
330	322	recnd 11292	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℂ)
331	326	recnd 11292	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℂ)
332	330, 331	subcld 11621	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)) ∈ ℂ)
333	332, 273	addcomd 11466	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)) + ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 + ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))))
334	330, 331, 273	subsubd 11649	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) = (((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)) + ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
335	273, 331, 330	subsub2d 11650	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 − ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))) = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 + ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))))
336	333, 334, 335	3eqtr4d 2776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 − ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))))
337		1cnd 11259	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
338	279, 280, 337	nnncan2d 11656	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) − ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1)) = ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − (𝑋 − (⌊‘𝑋))))
339	338, 277	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) − ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1)) = (𝑌 − 𝑋))
340	339	oveq1d 7439	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) − ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) = ((𝑌 − 𝑋) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
341	325	recnd 11292	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) ∈ ℂ)
342	321	recnd 11292	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) ∈ ℂ)
343	47	recnd 11292	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
344	341, 342, 343	subdird 11721	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) − ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) = ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)))
345	282, 343	mulcomd 11285	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − 𝑋) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋)))
346	340, 344, 345	3eqtr3d 2774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)) = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋)))
347	346	oveq2d 7440	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 − ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))) = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 − (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋))))
348	336, 347	eqtrd 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 − (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋))))
349	47, 66	remulcld 11294	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋)) ∈ ℝ)
350		cncfmptc 24923	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
351	47, 91, 92, 350	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
352		remulcl 11243	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦) ∈ ℝ)
353		simpl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ)
354	353	recnd 11292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
355		simpr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
356	355	recnd 11292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
357	354, 356	jca 510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ))
358		ovmpot 7587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦) = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦))
359	358	eqcomd 2732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦) = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦))
360	357, 359	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦) = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦))
361	360	eleq1d 2811	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦) ∈ ℝ ↔ (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦) ∈ ℝ))
362	361	biimpd 228	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦) ∈ ℝ → (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦) ∈ ℝ))
363	352, 362	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦) ∈ ℝ)
364	72, 73, 351, 96, 90, 363	cncfmpt2ss 24927	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦)) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
365		df-mpt 5237	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦)) = {⟨𝑦, 𝑤⟩ ∣ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦))}
366	365	eleq1i 2817	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦)) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ) ↔ {⟨𝑦, 𝑤⟩ ∣ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦))} ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
367	366	biimpi 215	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦)) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ) → {⟨𝑦, 𝑤⟩ ∣ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦))} ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
368	364, 367	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑦, 𝑤⟩ ∣ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦))} ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
369	114	a1dd 50	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) → (𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦) → 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌))))
370	369	impd 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦)) → 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)))
371	343	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
372	371, 132	jca 510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ))
373	372, 358	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦) = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦))
374	373	eqeq2d 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → (𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦) ↔ 𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦)))
375	374	biimpd 228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → (𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦) → 𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦)))
376	375	ex 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) → (𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦) → 𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦))))
377	376	impd 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦)) → 𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦)))
378	370, 377	jcad 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦)) → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦))))
379	114	a1dd 50	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) → (𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦) → 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌))))
380	379	impd 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦)) → 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)))
381	372, 359	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦) = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦))
382	381	eqeq2d 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → (𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦) ↔ 𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦)))
383	382	biimpd 228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → (𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦) → 𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦)))
384	383	ex 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) → (𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦) → 𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦))))
385	384	impd 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦)) → 𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦)))
386	380, 385	jcad 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦)) → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦))))
387	378, 386	impbid 211	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦)) ↔ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦))))
388	387	opabbidv 5219	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑦, 𝑤⟩ ∣ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦))} = {⟨𝑦, 𝑤⟩ ∣ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦))})
389		df-mpt 5237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦)) = {⟨𝑦, 𝑤⟩ ∣ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦))}
390	389	eqcomi 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ {⟨𝑦, 𝑤⟩ ∣ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦))} = (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦))
391	390	eqeq2i 2739	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ({⟨𝑦, 𝑤⟩ ∣ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦))} = {⟨𝑦, 𝑤⟩ ∣ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦))} ↔ {⟨𝑦, 𝑤⟩ ∣ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦))} = (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦)))
392	391	biimpi 215	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ({⟨𝑦, 𝑤⟩ ∣ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦))} = {⟨𝑦, 𝑤⟩ ∣ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦))} → {⟨𝑦, 𝑤⟩ ∣ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦))} = (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦)))
393	388, 392	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑦, 𝑤⟩ ∣ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦))} = (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦)))
394	393	eleq1d 2811	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝑦, 𝑤⟩ ∣ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦))} ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ) ↔ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦)) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ)))
395	394	biimpd 228	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝑦, 𝑤⟩ ∣ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦))} ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ) → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦)) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ)))
396	368, 395	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦)) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
397	171, 175, 176, 184, 343	dvmptcmul 25987	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 1)))
398	343	mulridd 11281	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 1) = ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
399	398	mpteq2dv 5255	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 1)) = (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
400	397, 399	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
401	6	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝑆)
402	131	rexrd 11314	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑦 ∈ ℝ^*)
403	260	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑌 ∈ ℝ^*)
404	308	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑈 ∈ ℝ^*)
405	402, 403, 404, 225, 227	xrletrd 13195	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑦 ≤ 𝑈)
406		vex 3466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑦 ∈ V
407		eleq1 2814	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (𝑘 ∈ 𝑆 ↔ 𝑦 ∈ 𝑆))
408	407	anbi2d 628	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → ((𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ↔ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)))
409		breq2 5157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (𝑋 ≤ 𝑘 ↔ 𝑋 ≤ 𝑦))
410		breq1 5156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (𝑘 ≤ 𝑈 ↔ 𝑦 ≤ 𝑈))
411	409, 410	3anbi23d 1436	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → ((𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈) ↔ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑈)))
412	408, 411	3anbi23d 1436	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑈))))
413		csbeq1 3895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
414	236, 413	eqtr3id 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → 𝐶 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
415	414	breq1d 5163	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (𝐶 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
416	412, 415	imbi12d 343	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝐶 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑈)) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)))
417		simp2l 1196	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝑋 ∈ 𝑆)
418		nfv 1910	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈))
419		nfcsb1v 3917	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵
420	241, 242, 419	nfbr 5200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐶 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵
421	418, 420	nfim 1892	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝐶 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
422		eleq1 2814	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↔ 𝑋 ∈ 𝑆))
423	422	anbi1d 629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ↔ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆)))
424		breq2 5157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐷 ≤ 𝑥 ↔ 𝐷 ≤ 𝑋))
425		breq1 5156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ≤ 𝑘 ↔ 𝑋 ≤ 𝑘))
426	424, 425	3anbi12d 1434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈) ↔ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)))
427	423, 426	3anbi23d 1436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈))))
428		csbeq1a 3906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝐵 = ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
429	428	breq2d 5165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐶 ≤ 𝐵 ↔ 𝐶 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
430	427, 429	imbi12d 343	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝐶 ≤ 𝐵) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝐶 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)))
431	421, 430, 253	vtoclg1f 3551	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝐶 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
432	417, 431	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝐶 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
433	406, 416, 432	vtocl 3538	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑈)) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
434	215, 401, 216, 222, 223, 405, 433	syl123anc 1384	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
435	214, 434	sylan2 591	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
436		oveq2 7432	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦) = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑋))
437		oveq2 7432	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦) = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑌))
438	13, 5, 206, 213, 396, 400, 435, 263, 265, 261, 49, 436, 33, 437	dvle 26031	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ≤ ((⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑌) − (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑋)))
439	343, 69, 70	subdid 11720	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋)) = ((⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑌) − (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑋)))
440	438, 439	breqtrrd 5181	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ≤ (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋)))
441	42, 51, 349, 440	subled 11867	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 − (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋))) ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)
442	348, 441	eqbrtrd 5175	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)
443	322, 327, 51, 442	subled 11867	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ≤ ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
444	325	renegcld 11691	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → -((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) ∈ ℝ)
445		1red 11265	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
446	5, 15, 445	lesubadd2d 11863	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) ≤ 1 ↔ 𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)))
447	310, 446	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − (⌊‘𝑋)) ≤ 1)
448	16, 445	suble0d 11855	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) ≤ 0 ↔ (𝑌 − (⌊‘𝑋)) ≤ 1))
449	447, 448	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) ≤ 0)
450	325	le0neg1d 11835	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1)))
451	449, 450	mpbid 231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ -((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1))
452	31, 47, 444, 451, 301	lemul2ad 12206	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (-((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) ≤ (-((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
453	341, 68	mulneg1d 11717	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (-((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) = -(((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
454	341, 343	mulneg1d 11717	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (-((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) = -(((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
455	452, 453, 454	3brtr3d 5184	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -(((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) ≤ -(((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
456	326, 328	lenegd 11843	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ≤ (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) ↔ -(((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) ≤ -(((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)))
457	455, 456	mpbird 256	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ≤ (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
458	326, 328, 42, 457	lesub1dd 11880	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) ≤ ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
459	323, 327, 329, 443, 458	letrd 11421	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ≤ ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
460	280, 337, 343	subdird 11721	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) = (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − (1 · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)))
461	343	mullidd 11282	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) = ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
462	461	oveq2d 7440	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − (1 · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)) = (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
463	460, 462	eqtrd 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) = (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
464	463	oveq1d 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) = ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))
465	279, 337, 68	subdird 11721	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − (1 · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)))
466	68	mullidd 11282	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) = ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)
467	466	oveq2d 7440	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − (1 · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
468	465, 467	eqtrd 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
469	468	oveq1d 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) = ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
470	459, 464, 469	3brtr3d 5184	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ≤ ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
471	48	recnd 11292	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℂ)
472	51	recnd 11292	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)
473	471, 472, 343	sub32d 11653	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) = ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))
474	272, 273, 68	sub32d 11653	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) = ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
475	470, 473, 474	3brtr4d 5185	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ≤ ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
476	318, 319, 63, 475	leadd1dd 11878	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶) ≤ (((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶))
477	52	recnd 11292	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ∈ ℂ)
478	63	recnd 11292	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 ∈ ℂ)
479	477, 478, 343	addsubd 11642	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) = (((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶))
480	43	recnd 11292	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) ∈ ℂ)
481	480, 478, 68	addsubd 11642	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) = (((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶))
482	476, 479, 481	3brtr4d 5185	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ≤ (((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
483	316	oveq1d 7439	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝑋) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) = (((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
484	311	oveq1d 7439	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝑌) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) = (((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
485	482, 483, 484	3brtr4d 5185	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝑋) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ≤ ((𝐻‘𝑌) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
486	317, 485	jca 510	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝑌) ≤ (𝐻‘𝑋) ∧ ((𝐻‘𝑋) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ≤ ((𝐻‘𝑌) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 394 ∧ w3a 1084 = wceq 1534 ∈ wcel 2099 ∀wral 3051 ⦋csb 3892 ⊆ wss 3947 {cpr 4635 class class class wbr 5153 {copab 5215 ↦ cmpt 5236 dom cdm 5682 ran crn 5683 ↾ cres 5684 ⟶wf 6550 ‘cfv 6554 (class class class)co 7424 ∈ cmpo 7426 ℂcc 11156 ℝcr 11157 0cc0 11158 1c1 11159 + caddc 11161 · cmul 11163 +∞cpnf 11295 ℝ^*cxr 11297 < clt 11298 ≤ cle 11299 − cmin 11494 -cneg 11495 ℤcz 12610 ℤ_≥cuz 12874 (,)cioo 13378 [,]cicc 13381 ...cfz 13538 ⌊cfl 13810 Σcsu 15690 TopOpenctopn 17436 topGenctg 17452 ℂ_fldccnfld 21343 –cn→ccncf 24887 D cdv 25883

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2167 ax-ext 2697 ax-rep 5290 ax-sep 5304 ax-nul 5311 ax-pow 5369 ax-pr 5433 ax-un 7746 ax-inf2 9684 ax-cnex 11214 ax-resscn 11215 ax-1cn 11216 ax-icn 11217 ax-addcl 11218 ax-addrcl 11219 ax-mulcl 11220 ax-mulrcl 11221 ax-mulcom 11222 ax-addass 11223 ax-mulass 11224 ax-distr 11225 ax-i2m1 11226 ax-1ne0 11227 ax-1rid 11228 ax-rnegex 11229 ax-rrecex 11230 ax-cnre 11231 ax-pre-lttri 11232 ax-pre-lttrn 11233 ax-pre-ltadd 11234 ax-pre-mulgt0 11235 ax-pre-sup 11236 ax-addf 11237

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2803 df-nfc 2878 df-ne 2931 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3061 df-rmo 3364 df-reu 3365 df-rab 3420 df-v 3464 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3967 df-nul 4326 df-if 4534 df-pw 4609 df-sn 4634 df-pr 4636 df-tp 4638 df-op 4640 df-uni 4914 df-int 4955 df-iun 5003 df-iin 5004 df-br 5154 df-opab 5216 df-mpt 5237 df-tr 5271 df-id 5580 df-eprel 5586 df-po 5594 df-so 5595 df-fr 5637 df-se 5638 df-we 5639 df-xp 5688 df-rel 5689 df-cnv 5690 df-co 5691 df-dm 5692 df-rn 5693 df-res 5694 df-ima 5695 df-pred 6312 df-ord 6379 df-on 6380 df-lim 6381 df-suc 6382 df-iota 6506 df-fun 6556 df-fn 6557 df-f 6558 df-f1 6559 df-fo 6560 df-f1o 6561 df-fv 6562 df-isom 6563 df-riota 7380 df-ov 7427 df-oprab 7428 df-mpo 7429 df-of 7690 df-om 7877 df-1st 8003 df-2nd 8004 df-supp 8175 df-frecs 8296 df-wrecs 8327 df-recs 8401 df-rdg 8440 df-1o 8496 df-2o 8497 df-er 8734 df-map 8857 df-pm 8858 df-ixp 8927 df-en 8975 df-dom 8976 df-sdom 8977 df-fin 8978 df-fsupp 9406 df-fi 9454 df-sup 9485 df-inf 9486 df-oi 9553 df-card 9982 df-pnf 11300 df-mnf 11301 df-xr 11302 df-ltxr 11303 df-le 11304 df-sub 11496 df-neg 11497 df-div 11922 df-nn 12265 df-2 12327 df-3 12328 df-4 12329 df-5 12330 df-6 12331 df-7 12332 df-8 12333 df-9 12334 df-n0 12525 df-z 12611 df-dec 12730 df-uz 12875 df-q 12985 df-rp 13029 df-xneg 13146 df-xadd 13147 df-xmul 13148 df-ioo 13382 df-ico 13384 df-icc 13385 df-fz 13539 df-fzo 13682 df-fl 13812 df-seq 14022 df-exp 14082 df-hash 14348 df-cj 15104 df-re 15105 df-im 15106 df-sqrt 15240 df-abs 15241 df-clim 15490 df-sum 15691 df-struct 17149 df-sets 17166 df-slot 17184 df-ndx 17196 df-base 17214 df-ress 17243 df-plusg 17279 df-mulr 17280 df-starv 17281 df-sca 17282 df-vsca 17283 df-ip 17284 df-tset 17285 df-ple 17286 df-ds 17288 df-unif 17289 df-hom 17290 df-cco 17291 df-rest 17437 df-topn 17438 df-0g 17456 df-gsum 17457 df-topgen 17458 df-pt 17459 df-prds 17462 df-xrs 17517 df-qtop 17522 df-imas 17523 df-xps 17525 df-mre 17599 df-mrc 17600 df-acs 17602 df-mgm 18633 df-sgrp 18712 df-mnd 18728 df-submnd 18774 df-mulg 19062 df-cntz 19311 df-cmn 19780 df-psmet 21335 df-xmet 21336 df-met 21337 df-bl 21338 df-mopn 21339 df-fbas 21340 df-fg 21341 df-cnfld 21344 df-top 22887 df-topon 22904 df-topsp 22926 df-bases 22940 df-cld 23014 df-ntr 23015 df-cls 23016 df-nei 23093 df-lp 23131 df-perf 23132 df-cn 23222 df-cnp 23223 df-haus 23310 df-cmp 23382 df-tx 23557 df-hmeo 23750 df-fil 23841 df-fm 23933 df-flim 23934 df-flf 23935 df-xms 24317 df-ms 24318 df-tms 24319 df-cncf 24889 df-limc 25886 df-dv 25887

This theorem is referenced by: dvfsumlem3 26054

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