Theorem lesub1dd 11868

Description: Subtraction from both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lesub1dd	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶))

Proof of Theorem lesub1dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	lesub1d 11859	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶)))
6	1, 5	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5152  (class class class)co 7426  ℝcr 11145   ≤ cle 11287   − cmin 11482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485

This theorem is referenced by:  eluzmn  12867  elfzmlbm  13651  modmulnn  13894  icodiamlt  15422  rlimrege0  15563  climsqz2  15626  rlimsqz2  15637  isercolllem1  15651  caucvgrlem  15659  climcndslem1  15835  bitsinv1lem  16423  hashdvds  16751  4sqlem6  16919  dvfsumlem2  25981  dvfsumlem2OLD  25982  dvfsumlem4  25984  dvfsum2  25989  isosctrlem1  26770  lgamgulmlem2  26982  basellem9  27041  ppiub  27157  chtub  27165  logfaclbnd  27175  bposlem1  27237  bposlem6  27242  selberg2lem  27503  pntpbnd2  27540  pntlemo  27560  ttgcontlem1  28715  axpaschlem  28771  axcontlem8  28802  cycpmco2lem7  32874  dnibndlem10  35995  unblimceq0  36015  unbdqndv2lem2  36018  poimirlem6  37132  poimirlem7  37133  itg2addnclem3  37179  iccbnd  37346  lcmineqlem23  41554  sticksstones12a  41661  sticksstones12  41662  bcled  41682  bcle2d  41683  metakunt30  41718  jm2.24nn  42411  fzmaxdif  42433  areaquad  42675  monoords  44708  iccshift  44932  climinf  45023  sumnnodd  45047  dvnmul  45360  itgiccshift  45397  itgperiod  45398  itgsbtaddcnst  45399  stoweidlem13  45430  stoweidlem26  45443  stoweidlem34  45451  fourierdlem19  45543  fourierdlem42  45566  fourierdlem74  45597  fourierdlem75  45598  fourierdlem79  45602  fourierdlem81  45604  fourierdlem82  45605  fourierdlem103  45626  fourierdlem104  45627  fouriersw  45648  hoidmvlelem1  46012  bgoldbtbndlem2  47175

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »