Theorem tglinethru 28458

Description: If 𝐴 is a line containing two distinct points 𝑃 and 𝑄, then 𝐴 is the line through 𝑃 and 𝑄. Theorem 6.18 of [Schwabhauser] p. 45. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglineelsb2.p	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
tglineelsb2.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineelsb2.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineelsb2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglineelsb2.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
tglineelsb2.2	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐵)
tglineelsb2.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝑄)
tglinethru.0	⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝑄)
tglinethru.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
tglinethru.2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴)
tglinethru.3	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
tglinethru	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑃𝐿𝑄))

Proof of Theorem tglinethru

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglineelsb2.p	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		tglineelsb2.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		tglineelsb2.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		tglineelsb2.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	ad4antr 730	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		simp-4r 782	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐵)
7		simpllr 774	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐵)
8		simplrr 776	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑥 ≠ 𝑦)
9		tglineelsb2.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐵)
10	9	ad4antr 730	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑄 ∈ 𝐵)
11		tglinethru.0	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝑄)
12	11	ad4antr 730	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑃 ≠ 𝑄)
13	12	necomd 2992	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑄 ≠ 𝑃)
14		simpr 483	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑃 = 𝑥)
15	13, 14	neeqtrd 3006	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑄 ≠ 𝑥)
16		tglinethru.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
17	16	ad4antr 730	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑄 ∈ 𝐴)
18		simplrl 775	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦))
19	17, 18	eleqtrd 2830	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑄 ∈ (𝑥𝐿𝑦))
20	1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 15, 19	tglineelsb2 28454	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → (𝑥𝐿𝑦) = (𝑥𝐿𝑄))
21	14	oveq1d 7439	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → (𝑃𝐿𝑄) = (𝑥𝐿𝑄))
22	20, 18, 21	3eqtr4d 2777	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝐴 = (𝑃𝐿𝑄))
23		simplrl 775	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦))
24	4	ad4antr 730	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝐺 ∈ TarskiG)
25		simp-4r 782	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐵)
26		simpllr 774	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐵)
27		simplrr 776	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝑥 ≠ 𝑦)
28		tglineelsb2.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
29	28	ad4antr 730	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝑃 ∈ 𝐵)
30		simpr 483	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝑃 ≠ 𝑥)
31		tglinethru.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴)
32	31	ad4antr 730	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝑃 ∈ 𝐴)
33	32, 23	eleqtrd 2830	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝑃 ∈ (𝑥𝐿𝑦))
34	1, 2, 3, 24, 25, 26, 27, 29, 30, 33	tglineelsb2 28454	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → (𝑥𝐿𝑦) = (𝑥𝐿𝑃))
35	30	necomd 2992	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝑥 ≠ 𝑃)
36	1, 2, 3, 24, 25, 29, 35	tglinecom 28457	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → (𝑥𝐿𝑃) = (𝑃𝐿𝑥))
37	23, 34, 36	3eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝐴 = (𝑃𝐿𝑥))
38	9	ad4antr 730	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝑄 ∈ 𝐵)
39	11	ad4antr 730	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝑃 ≠ 𝑄)
40	39	necomd 2992	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝑄 ≠ 𝑃)
41	16	ad4antr 730	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝑄 ∈ 𝐴)
42	41, 37	eleqtrd 2830	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝑄 ∈ (𝑃𝐿𝑥))
43	1, 2, 3, 24, 29, 25, 30, 38, 40, 42	tglineelsb2 28454	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → (𝑃𝐿𝑥) = (𝑃𝐿𝑄))
44	37, 43	eqtrd 2767	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝐴 = (𝑃𝐿𝑄))
45	22, 44	pm2.61dane 3025	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝐴 = (𝑃𝐿𝑄))
46		tglinethru.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
47	1, 2, 3, 4, 46	tgisline 28449	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
48	45, 47	r19.29vva 3209	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑃𝐿𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2936  ran crn 5681  ‘cfv 6551  (class class class)co 7424  Basecbs 17185  TarskiGcstrkg 28249  Itvcitv 28255  LineGclng 28256

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-oadd 8495  df-er 8729  df-pm 8852  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-dju 9930  df-card 9968  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-n0 12509  df-xnn0 12581  df-z 12595  df-uz 12859  df-fz 13523  df-fzo 13666  df-hash 14328  df-word 14503  df-concat 14559  df-s1 14584  df-s2 14837  df-s3 14838  df-trkgc 28270  df-trkgb 28271  df-trkgcb 28272  df-trkg 28275  df-cgrg 28333

This theorem is referenced by:  tghilberti2  28460  tglineintmo  28464  colline  28471  tglowdim2ln  28473  mirln  28498  mirln2  28499  perpneq  28536  ragperp  28539  footexALT  28540  footexlem1  28541  perpdragALT  28549  perpdrag  28550  colperp  28551  opphllem1  28569  opphllem2  28570  opphllem3  28571  opphllem4  28572  opphllem5  28573  opphllem6  28574  oppperpex  28575  opphl  28576  hpgerlem  28587  colhp  28592  lmiisolem  28618  acopy  28655  acopyeu  28656

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »