Theorem unitdivcld 33502

Description: Necessary conditions for a quotient to be in the closed unit interval. (somewhat too strong, it would be sufficient that A and B are in RR+) (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
unitdivcld	⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐵) ∈ (0[,]1)))

Proof of Theorem unitdivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elunitrn 13477	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]1) → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	3ad2ant1 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		elunitrn 13477	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,]1) → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	3ad2ant2 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		simp3 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ≠ 0)
6	2, 4, 5	redivcld 12073	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
8		elunitge0 33500	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]1) → 0 ≤ 𝐴)
9	8	3ad2ant1 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 0 ≤ 𝐴)
10		elunitge0 33500	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,]1) → 0 ≤ 𝐵)
11	10	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 0 ≤ 𝐵)
12		0re 11247	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℝ
13		ltlen 11346	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐵 ↔ (0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 0)))
14	12, 3, 13	sylancr 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,]1) → (0 < 𝐵 ↔ (0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 0)))
15	14	biimpar 477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ (0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 0 < 𝐵)
16	15	3impb 1113	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 0) → 0 < 𝐵)
17	16	3com23 1124	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 0 ≤ 𝐵) → 0 < 𝐵)
18	11, 17	mpd3an3 1459	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 0 < 𝐵)
19	18	3adant1 1128	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 0 < 𝐵)
20		divge0 12114	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
21	2, 9, 4, 19, 20	syl22anc 838	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
22	21	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
23		1red 11246	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 1 ∈ ℝ)
24		ledivmul 12121	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 / 𝐵) ≤ 1 ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 · 1)))
25	2, 23, 4, 19, 24	syl112anc 1372	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 / 𝐵) ≤ 1 ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 · 1)))
26		ax-1rid 11209	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 1) = 𝐵)
27	26	breq2d 5160	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ (𝐵 · 1) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
28	4, 27	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ≤ (𝐵 · 1) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
29	25, 28	bitr2d 280	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐵) ≤ 1))
30	29	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 / 𝐵) ≤ 1)
31	7, 22, 30	3jca 1126	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵) ∧ (𝐴 / 𝐵) ≤ 1))
32	31	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ≤ 𝐵 → ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵) ∧ (𝐴 / 𝐵) ≤ 1)))
33		simp3 1136	. . . 4 ⊢ (((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵) ∧ (𝐴 / 𝐵) ≤ 1) → (𝐴 / 𝐵) ≤ 1)
34	33, 29	imbitrrid 245	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵) ∧ (𝐴 / 𝐵) ≤ 1) → 𝐴 ≤ 𝐵))
35	32, 34	impbid 211	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵) ∧ (𝐴 / 𝐵) ≤ 1)))
36		elicc01 13476	. 2 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ (0[,]1) ↔ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵) ∧ (𝐴 / 𝐵) ≤ 1))
37	35, 36	bitr4di 289	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐵) ∈ (0[,]1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2937   class class class wbr 5148  (class class class)co 7420  ℝcr 11138  0cc0 11139  1c1 11140   · cmul 11144   < clt 11279   ≤ cle 11280   / cdiv 11902  [,]cicc 13360

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-icc 13364

This theorem is referenced by:  cndprob01  34055

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »