Theorem 9fppr8 47071

Description: 9 is the (smallest) Fermat pseudoprime to the base 8. (Contributed by AV, 2-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
9fppr8	⊢ 9 ∈ ( FPPr ‘8)

Proof of Theorem 9fppr8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn 12331	. 2 ⊢ 8 ∈ ℕ
2		4z 12620	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
3		9nn 12334	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ
4	3	nnzi 12610	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℤ
5		4re 12320	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
6		9re 12335	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℝ
7		4lt9 12439	. . . . . 6 ⊢ 4 < 9
8	5, 6, 7	ltleii 11361	. . . . 5 ⊢ 4 ≤ 9
9		eluz2 12852	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ (ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 9))
10	2, 4, 8, 9	mpbir3an 1339	. . . 4 ⊢ 9 ∈ (ℤ≥‘4)
11		2z 12618	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
12		3z 12619	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℤ
13		2re 12310	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
14		3re 12316	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
15		2lt3 12408	. . . . . . . 8 ⊢ 2 < 3
16	13, 14, 15	ltleii 11361	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≤ 3
17		eluz2 12852	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 3))
18	11, 12, 16, 17	mpbir3an 1339	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘2)
19		nprm 16652	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 3 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (3 · 3) ∈ ℙ)
20	18, 18, 19	mp2an 691	. . . . 5 ⊢ ¬ (3 · 3) ∈ ℙ
21		df-nel 3043	. . . . . 6 ⊢ (9 ∉ ℙ ↔ ¬ 9 ∈ ℙ)
22		3t3e9 12403	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 3) = 9
23	22	eqcomi 2737	. . . . . . 7 ⊢ 9 = (3 · 3)
24	23	eleq1i 2820	. . . . . 6 ⊢ (9 ∈ ℙ ↔ (3 · 3) ∈ ℙ)
25	21, 24	xchbinx 334	. . . . 5 ⊢ (9 ∉ ℙ ↔ ¬ (3 · 3) ∈ ℙ)
26	20, 25	mpbir 230	. . . 4 ⊢ 9 ∉ ℙ
27		9m1e8 12370	. . . . . . 7 ⊢ (9 − 1) = 8
28	27	oveq2i 7425	. . . . . 6 ⊢ (8↑(9 − 1)) = (8↑8)
29	28	oveq1i 7424	. . . . 5 ⊢ ((8↑(9 − 1)) mod 9) = ((8↑8) mod 9)
30		8exp8mod9 47070	. . . . 5 ⊢ ((8↑8) mod 9) = 1
31	29, 30	eqtri 2756	. . . 4 ⊢ ((8↑(9 − 1)) mod 9) = 1
32	10, 26, 31	3pm3.2i 1337	. . 3 ⊢ (9 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 9 ∉ ℙ ∧ ((8↑(9 − 1)) mod 9) = 1)
33		fpprel 47062	. . 3 ⊢ (8 ∈ ℕ → (9 ∈ ( FPPr ‘8) ↔ (9 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 9 ∉ ℙ ∧ ((8↑(9 − 1)) mod 9) = 1)))
34	32, 33	mpbiri 258	. 2 ⊢ (8 ∈ ℕ → 9 ∈ ( FPPr ‘8))
35	1, 34	ax-mp 5	1 ⊢ 9 ∈ ( FPPr ‘8)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ∉ wnel 3042   class class class wbr 5142  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  1c1 11133   · cmul 11137   ≤ cle 11273   − cmin 11468  ℕcn 12236  2c2 12291  3c3 12292  4c4 12293  8c8 12297  9c9 12298  ℤcz 12582  ℤ_≥cuz 12846   mod cmo 13860  ↑cexp 14052  ℙcprime 16635   FPPr cfppr 47058

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9459  df-inf 9460  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12497  df-z 12583  df-dec 12702  df-uz 12847  df-rp 13001  df-fl 13783  df-mod 13861  df-seq 13993  df-exp 14053  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-dvds 16225  df-prm 16636  df-fppr 47059

This theorem is referenced by: (None)

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »