Theorem chpdmatlem3 22741

Description: Lemma 3 for chpdmat 22742. (Contributed by AV, 18-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
chpdmat.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chpdmat.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
chpdmat.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chpdmat.s	⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)
chpdmat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
chpdmat.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
chpdmat.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
chpdmat.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
chpdmat.m	⊢ − = (-g‘𝑃)
chpdmatlem.q	⊢ 𝑄 = (𝑁 Mat 𝑃)
chpdmatlem.1	⊢ 1 = (1r‘𝑄)
chpdmatlem.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑄)
chpdmatlem.z	⊢ 𝑍 = (-g‘𝑄)
chpdmatlem.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
chpdmatlem3	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐾((𝑋 · 1 )𝑍(𝑇‘𝑀))𝐾) = (𝑋 − (𝑆‘(𝐾𝑀𝐾))))

Proof of Theorem chpdmatlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chpdmat.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2	1	ply1ring 22165	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
3	2	3ad2ant2 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝑃 ∈ Ring)
5		chpdmat.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
6		chpdmat.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
7		chpdmat.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)
8		chpdmat.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
9		chpdmat.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
10		chpdmat.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
11		chpdmat.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
12		chpdmat.m	. . . . . . 7 ⊢ − = (-g‘𝑃)
13		chpdmatlem.q	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = (𝑁 Mat 𝑃)
14		chpdmatlem.1	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑄)
15		chpdmatlem.m	. . . . . . 7 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑄)
16	5, 1, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	chpdmatlem0 22738	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄))
17	16	3adant3 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄))
18		chpdmatlem.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
19	18, 6, 8, 1, 13	mat2pmatbas 22627	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝑄))
20	17, 19	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄) ∧ (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝑄)))
21	20	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ((𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄) ∧ (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝑄)))
22		simpr 484	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝐾 ∈ 𝑁)
23		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
24		chpdmatlem.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (-g‘𝑄)
25	13, 23, 24, 12	matsubgcell 22335	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ ((𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄) ∧ (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝑄)) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → (𝐾((𝑋 · 1 )𝑍(𝑇‘𝑀))𝐾) = ((𝐾(𝑋 · 1 )𝐾) − (𝐾(𝑇‘𝑀)𝐾)))
26	4, 21, 22, 22, 25	syl112anc 1372	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐾((𝑋 · 1 )𝑍(𝑇‘𝑀))𝐾) = ((𝐾(𝑋 · 1 )𝐾) − (𝐾(𝑇‘𝑀)𝐾)))
27		eqid 2728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
28	9, 1, 27	vr1cl 22135	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
29	28	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
30	1, 13	pmatring 22593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑄 ∈ Ring)
31	23, 14	ringidcl 20201	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑄 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑄))
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 1 ∈ (Base‘𝑄))
33	29, 32	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑄)))
34	33	3adant3 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑄)))
35	34	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑄)))
36		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
37	13, 23, 27, 15, 36	matvscacell 22337	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → (𝐾(𝑋 · 1 )𝐾) = (𝑋(.r‘𝑃)(𝐾 1 𝐾)))
38	4, 35, 22, 22, 37	syl112anc 1372	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐾(𝑋 · 1 )𝐾) = (𝑋(.r‘𝑃)(𝐾 1 𝐾)))
39		eqid 2728	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
40		eqid 2728	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
41		simpl1 1189	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
42	13, 39, 40, 41, 4, 22, 22, 14	mat1ov 22349	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐾 1 𝐾) = if(𝐾 = 𝐾, (1r‘𝑃), (0g‘𝑃)))
43		eqid 2728	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = 𝐾
44	43	iftruei 4536	. . . . . 6 ⊢ if(𝐾 = 𝐾, (1r‘𝑃), (0g‘𝑃)) = (1r‘𝑃)
45	42, 44	eqtrdi 2784	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐾 1 𝐾) = (1r‘𝑃))
46	45	oveq2d 7436	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑋(.r‘𝑃)(𝐾 1 𝐾)) = (𝑋(.r‘𝑃)(1r‘𝑃)))
47	2, 28	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)))
48	47	3ad2ant2 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)))
49	27, 36, 39	ringridm 20205	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑋(.r‘𝑃)(1r‘𝑃)) = 𝑋)
50	48, 49	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑋(.r‘𝑃)(1r‘𝑃)) = 𝑋)
51	50	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑋(.r‘𝑃)(1r‘𝑃)) = 𝑋)
52	38, 46, 51	3eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐾(𝑋 · 1 )𝐾) = 𝑋)
53	18, 6, 8, 1, 7	mat2pmatvalel 22626	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → (𝐾(𝑇‘𝑀)𝐾) = (𝑆‘(𝐾𝑀𝐾)))
54	53	anabsan2 673	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐾(𝑇‘𝑀)𝐾) = (𝑆‘(𝐾𝑀𝐾)))
55	52, 54	oveq12d 7438	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ((𝐾(𝑋 · 1 )𝐾) − (𝐾(𝑇‘𝑀)𝐾)) = (𝑋 − (𝑆‘(𝐾𝑀𝐾))))
56	26, 55	eqtrd 2768	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐾((𝑋 · 1 )𝑍(𝑇‘𝑀))𝐾) = (𝑋 − (𝑆‘(𝐾𝑀𝐾))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ifcif 4529  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  Fincfn 8963  Basecbs 17179  ._rcmulr 17233   ·_𝑠 cvsca 17236  0_gc0g 17420  -_gcsg 18891  mulGrpcmgp 20073  1_rcur 20120  Ringcrg 20172  algSccascl 21785  var₁cv1 22094  Poly₁cpl1 22095   Mat cmat 22306   matToPolyMat cmat2pmat 22605   CharPlyMat cchpmat 22727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-ofr 7686  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-map 8846  df-pm 8847  df-ixp 8916  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-fsupp 9386  df-sup 9465  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-hash 14322  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-hom 17256  df-cco 17257  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-prds 17428  df-pws 17430  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18739  df-submnd 18740  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-mulg 19023  df-subg 19077  df-ghm 19167  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-subrng 20482  df-subrg 20507  df-lmod 20744  df-lss 20815  df-sra 21057  df-rgmod 21058  df-dsmm 21665  df-frlm 21680  df-ascl 21788  df-psr 21841  df-mvr 21842  df-mpl 21843  df-opsr 21845  df-psr1 22098  df-vr1 22099  df-ply1 22100  df-mamu 22285  df-mat 22307  df-mat2pmat 22608

This theorem is referenced by:  chpdmat  22742

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »