Theorem cnfld1OLD 21326

Description: Obsolete version of cnfld1 21325 as of 30-Apr-2025. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
cnfld1OLD	⊢ 1 = (1r‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfld1OLD

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 11196	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		mullid 11243	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1 · 𝑥) = 𝑥)
3		mulrid 11242	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 · 1) = 𝑥)
4	2, 3	jca 510	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 1) = 𝑥))
5	4	rgen 3053	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℂ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 1) = 𝑥)
6	1, 5	pm3.2i 469	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 1) = 𝑥))
7		cnring 21322	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Ring
8		cnfldbas 21287	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
9		cnfldmul 21291	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
10		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (1r‘ℂfld) = (1r‘ℂfld)
11	8, 9, 10	isringid 20211	. . . 4 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ((1 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 1) = 𝑥)) ↔ (1r‘ℂfld) = 1))
12	7, 11	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 1) = 𝑥)) ↔ (1r‘ℂfld) = 1)
13	6, 12	mpbi 229	. 2 ⊢ (1r‘ℂfld) = 1
14	13	eqcomi 2734	1 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3051  ‘cfv 6547  (class class class)co 7417  ℂcc 11136  1c1 11139   · cmul 11143  1_rcur 20125  Ringcrg 20177  ℂ_fldccnfld 21283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-addf 11217  ax-mulf 11218

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7870  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-cmn 19741  df-mgp 20079  df-ur 20126  df-ring 20179  df-cring 20180  df-cnfld 21284

This theorem is referenced by: (None)

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »