Theorem exp1d 14145

Description: Value of a complex number raised to the first power. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
exp1d	⊢ (𝜑 → (𝐴↑1) = 𝐴)

Proof of Theorem exp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		exp1 14072	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7426  ℂcc 11144  1c1 11147  ↑cexp 14066

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-seq 14007  df-exp 14067

This theorem is referenced by:  faclbnd4lem1  14292  fsumcube  16044  sin01gt0  16174  rplpwr  16540  prmdvdsexp  16693  phiprm  16753  eulerthlem2  16758  pcelnn  16846  expnprm  16878  prmpwdvds  16880  pockthg  16882  odcau  19566  plyco  26195  dgrcolem1  26228  vieta1  26267  taylthlem1  26328  ftalem2  27026  vmaprm  27069  vma1  27118  1sgmprm  27152  chtublem  27164  fsumvma2  27167  chpchtsum  27172  logfacrlim2  27179  bposlem2  27238  bposlem6  27242  lgsval2lem  27260  2sqblem  27384  chebbnd1lem1  27422  rplogsumlem2  27438  rpvmasumlem  27440  ostth3  27591  nn0prpwlem  35839  nn0prpw  35840  bfplem1  37328  dvrelogpow2b  41571  aks4d1p1p4  41574  aks4d1p1p7  41577  aks4d1p1p5  41578  aks4d1p1  41579  aks4d1p3  41581  aks4d1p8d2  41588  aks6d1c1p8  41618  2ap1caineq  41649  aks6d1c7  41688  fltnltalem  42117  fltnlta  42118  3cubeslem3r  42138  rmxy1  42374  jm2.18  42440  jm2.23  42448  jm3.1lem2  42470  areaquad  42675  radcnvrat  43782  stoweidlem3  45420  wallispilem2  45483  stirlinglem1  45491  stirlinglem7  45497  stirlinglem10  45500  lighneal  46980  blenpw2m1  47730

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »