Theorem fzopredsuc 46732

Description: Join a predecessor and a successor to the beginning and the end of an open integer interval. This theorem holds even if 𝑁 = 𝑀 (then (𝑀...𝑁) = {𝑀} = ({𝑀} ∪ ∅) ∪ {𝑀}). (Contributed by AV, 14-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fzopredsuc	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) = (({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁}))

Proof of Theorem fzopredsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unidm 4153	. . . . . 6 ⊢ ({𝑁} ∪ {𝑁}) = {𝑁}
2	1	eqcomi 2737	. . . . 5 ⊢ {𝑁} = ({𝑁} ∪ {𝑁})
3		oveq1 7433	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 = 𝑁 → (𝑀...𝑁) = (𝑁...𝑁))
4		fzsn 13583	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁...𝑁) = {𝑁})
5	3, 4	sylan9eqr 2790	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 𝑁) → (𝑀...𝑁) = {𝑁})
6		sneq 4642	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 = 𝑁 → {𝑀} = {𝑁})
7		oveq1 7433	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 = 𝑁 → (𝑀 + 1) = (𝑁 + 1))
8	7	oveq1d 7441	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 = 𝑁 → ((𝑀 + 1)..^𝑁) = ((𝑁 + 1)..^𝑁))
9	6, 8	uneq12d 4165	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 = 𝑁 → ({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ({𝑁} ∪ ((𝑁 + 1)..^𝑁)))
10	9	uneq1d 4163	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 = 𝑁 → (({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁}) = (({𝑁} ∪ ((𝑁 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁}))
11		zre 12600	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
12	11	lep1d 12183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ≤ (𝑁 + 1))
13		peano2z 12641	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
14	13	zred 12704	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
15	11, 14	lenltd 11398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ≤ (𝑁 + 1) ↔ ¬ (𝑁 + 1) < 𝑁))
16	12, 15	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ¬ (𝑁 + 1) < 𝑁)
17		fzonlt0 13695	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑁 + 1) < 𝑁 ↔ ((𝑁 + 1)..^𝑁) = ∅))
18	13, 17	mpancom 686	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ (𝑁 + 1) < 𝑁 ↔ ((𝑁 + 1)..^𝑁) = ∅))
19	16, 18	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 + 1)..^𝑁) = ∅)
20	19	uneq2d 4164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ({𝑁} ∪ ((𝑁 + 1)..^𝑁)) = ({𝑁} ∪ ∅))
21		un0 4394	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑁} ∪ ∅) = {𝑁}
22	20, 21	eqtrdi 2784	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ({𝑁} ∪ ((𝑁 + 1)..^𝑁)) = {𝑁})
23	22	uneq1d 4163	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (({𝑁} ∪ ((𝑁 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁}) = ({𝑁} ∪ {𝑁}))
24	10, 23	sylan9eqr 2790	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 𝑁) → (({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁}) = ({𝑁} ∪ {𝑁}))
25	2, 5, 24	3eqtr4a 2794	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 𝑁) → (𝑀...𝑁) = (({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁}))
26	25	ex 411	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀 = 𝑁 → (𝑀...𝑁) = (({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁})))
27		eluzelz 12870	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
28	26, 27	syl11 33	. 2 ⊢ (𝑀 = 𝑁 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) = (({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁})))
29		fzisfzounsn 13784	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀..^𝑁) ∪ {𝑁}))
30	29	adantl 480	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑀 = 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀..^𝑁) ∪ {𝑁}))
31		eluz2 12866	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
32		simpl1 1188	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ ¬ 𝑀 = 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
33		simpl2 1189	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ ¬ 𝑀 = 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
34		nesym 2994	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ≠ 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 = 𝑁)
35		zre 12600	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
36		ltlen 11353	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≠ 𝑀)))
37	35, 11, 36	syl2an 594	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≠ 𝑀)))
38	37	biimprd 247	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≠ 𝑀) → 𝑀 < 𝑁))
39	38	exp4b 429	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀 ≤ 𝑁 → (𝑁 ≠ 𝑀 → 𝑀 < 𝑁))))
40	39	3imp 1108	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑁 ≠ 𝑀 → 𝑀 < 𝑁))
41	34, 40	biimtrrid 242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (¬ 𝑀 = 𝑁 → 𝑀 < 𝑁))
42	41	imp 405	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ ¬ 𝑀 = 𝑁) → 𝑀 < 𝑁)
43	32, 33, 42	3jca 1125	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ ¬ 𝑀 = 𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁))
44	43	ex 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (¬ 𝑀 = 𝑁 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁)))
45	31, 44	sylbi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (¬ 𝑀 = 𝑁 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁)))
46	45	impcom 406	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑀 = 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁))
47		fzopred 46731	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑀..^𝑁) = ({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)))
48	46, 47	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑀 = 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑀..^𝑁) = ({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)))
49	48	uneq1d 4163	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑀 = 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑀..^𝑁) ∪ {𝑁}) = (({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁}))
50	30, 49	eqtrd 2768	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑀 = 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑀...𝑁) = (({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁}))
51	50	ex 411	. 2 ⊢ (¬ 𝑀 = 𝑁 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) = (({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁})))
52	28, 51	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) = (({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2937   ∪ cun 3947  ∅c0 4326  {csn 4632   class class class wbr 5152  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  ℝcr 11145  1c1 11147   + caddc 11149   < clt 11286   ≤ cle 11287  ℤcz 12596  ℤ_≥cuz 12860  ...cfz 13524  ..^cfzo 13667

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668

This theorem is referenced by:  1fzopredsuc  46733  sbgoldbo  47156

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »