Theorem irngnzply1lem 33373

Description: In the case of a field 𝐸, a root 𝑋 of some nonzero polynomial 𝑃 with coefficients in a subfield 𝐹 is integral over 𝐹. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
irngnzply1.o	⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
irngnzply1.z	⊢ 𝑍 = (0g‘(Poly1‘𝐸))
irngnzply1.1	⊢ 0 = (0g‘𝐸)
irngnzply1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
irngnzply1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
irngnzply1lem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
irngnzply1lem.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ dom 𝑂)
irngnzply1lem.2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝑍)
irngnzply1lem.3	⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑃)‘𝑋) = 0 )
irngnzply1lem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
irngnzply1lem	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))

Proof of Theorem irngnzply1lem

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		irngnzply1lem.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		irngnzply1.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
3		issdrg 20681	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) ↔ (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing))
4	3	simp3bi 1144	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
5	2, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
6	5	drngringd 20637	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring)
7		irngnzply1lem.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ dom 𝑂)
8		irngnzply1.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
9	8	fldcrngd 20642	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ CRing)
10	2, 3	sylib 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing))
11	10	simp2d 1140	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
12		irngnzply1.o	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
13		irngnzply1lem.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
14		eqid 2727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ↑s 𝐵) = (𝐸 ↑s 𝐵)
15		eqid 2727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ↾s 𝐹) = (𝐸 ↾s 𝐹)
16		eqid 2727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
17	12, 13, 14, 15, 16	evls1rhm 22246	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸 ∈ CRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸)) → 𝑂 ∈ ((Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) RingHom (𝐸 ↑s 𝐵)))
18	9, 11, 17	syl2anc 582	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ ((Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) RingHom (𝐸 ↑s 𝐵)))
19		eqid 2727	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) = (Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
20		eqid 2727	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(𝐸 ↑s 𝐵)) = (Base‘(𝐸 ↑s 𝐵))
21	19, 20	rhmf 20429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑂 ∈ ((Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) RingHom (𝐸 ↑s 𝐵)) → 𝑂:(Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))⟶(Base‘(𝐸 ↑s 𝐵)))
22	18, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂:(Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))⟶(Base‘(𝐸 ↑s 𝐵)))
23	22	fdmd 6736	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝑂 = (Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
24	7, 23	eleqtrd 2830	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
25		irngnzply1lem.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝑍)
26		eqid 2727	. . . . . . 7 ⊢ (Poly1‘𝐸) = (Poly1‘𝐸)
27		irngnzply1.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (0g‘(Poly1‘𝐸))
28	26, 15, 16, 19, 11, 27	ressply10g 33257	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
29	25, 28	neeqtrd 3006	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ (0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
30		eqid 2727	. . . . . 6 ⊢ (0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) = (0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
31		eqid 2727	. . . . . 6 ⊢ (Unic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (Unic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))
32	16, 19, 30, 31	drnguc1p 26126	. . . . 5 ⊢ (((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing ∧ 𝑃 ∈ (Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) ∧ 𝑃 ≠ (0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))) → 𝑃 ∈ (Unic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
33	5, 24, 29, 32	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (Unic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
34		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ (Monic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (Monic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))
35		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ (.r‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) = (.r‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
36		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ (algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) = (algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
37		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ ( deg1 ‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = ( deg1 ‘(𝐸 ↾s 𝐹))
38		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ (invr‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))
39	31, 34, 16, 35, 36, 37, 38	uc1pmon1p 26105	. . . 4 ⊢ (((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (Unic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))) → (((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘(( deg1 ‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))))(.r‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))𝑃) ∈ (Monic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
40	6, 33, 39	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘(( deg1 ‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))))(.r‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))𝑃) ∈ (Monic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
41		simpr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘(( deg1 ‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))))(.r‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))𝑃)) → 𝑝 = (((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘(( deg1 ‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))))(.r‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))𝑃))
42	41	fveq2d 6904	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘(( deg1 ‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))))(.r‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))𝑃)) → (𝑂‘𝑝) = (𝑂‘(((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘(( deg1 ‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))))(.r‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))𝑃)))
43	42	fveq1d 6902	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘(( deg1 ‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))))(.r‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))𝑃)) → ((𝑂‘𝑝)‘𝑋) = ((𝑂‘(((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘(( deg1 ‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))))(.r‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))𝑃))‘𝑋))
44	43	eqeq1d 2729	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘(( deg1 ‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))))(.r‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))𝑃)) → (((𝑂‘𝑝)‘𝑋) = 0 ↔ ((𝑂‘(((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘(( deg1 ‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))))(.r‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))𝑃))‘𝑋) = 0 ))
45		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐸) = (.r‘𝐸)
46		eqid 2727	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) = (Scalar‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
47		fldsdrgfld 20691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐸 ∈ Field ∧ 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸)) → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Field)
48	8, 2, 47	syl2anc 582	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Field)
49	48	fldcrngd 20642	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ CRing)
50	16	ply1assa 22123	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ CRing → (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) ∈ AssAlg)
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) ∈ AssAlg)
52		assaring 21800	. . . . . . . 8 ⊢ ((Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) ∈ AssAlg → (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) ∈ Ring)
53	51, 52	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) ∈ Ring)
54	16	ply1lmod 22175	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring → (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) ∈ LMod)
55	6, 54	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)) ∈ LMod)
56		eqid 2727	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))) = (Base‘(Scalar‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
57	36, 46, 53, 55, 56, 19	asclf 21820	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))):(Base‘(Scalar‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))))⟶(Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
58		eqid 2727	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹))
59		eqid 2727	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (0g‘(𝐸 ↾s 𝐹))
60	37, 16, 30, 19	deg1nn0cl 26042	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) ∧ 𝑃 ≠ (0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))) → (( deg1 ‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃) ∈ ℕ0)
61	6, 24, 29, 60	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (( deg1 ‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃) ∈ ℕ0)
62		eqid 2727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (coe1‘𝑃) = (coe1‘𝑃)
63	62, 19, 16, 58	coe1fvalcl 22136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ (Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) ∧ (( deg1 ‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃) ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝑃)‘(( deg1 ‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃)) ∈ (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
64	24, 61, 63	syl2anc 582	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝑃)‘(( deg1 ‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃)) ∈ (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
65	37, 16, 30, 19, 59, 62	deg1ldg 26046	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))) ∧ 𝑃 ≠ (0g‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))) → ((coe1‘𝑃)‘(( deg1 ‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃)) ≠ (0g‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
66	6, 24, 29, 65	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝑃)‘(( deg1 ‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃)) ≠ (0g‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
67	58, 59, 38, 5, 64, 66	drnginvrcld 20653	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘(( deg1 ‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))) ∈ (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹)))
68	16	ply1sca 22176	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Field → (𝐸 ↾s 𝐹) = (Scalar‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
69	48, 68	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) = (Scalar‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
70	69	fveq2d 6904	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (Base‘(Scalar‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))))
71	67, 70	eleqtrd 2830	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘(( deg1 ‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))) ∈ (Base‘(Scalar‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))))
72	57, 71	ffvelcdmd 7098	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘(( deg1 ‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃)))) ∈ (Base‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))))
73	12, 13, 16, 15, 19, 35, 45, 9, 11, 72, 24, 1	evls1muld 22296	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘(( deg1 ‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))))(.r‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))𝑃))‘𝑋) = (((𝑂‘((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘(( deg1 ‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃)))))‘𝑋)(.r‘𝐸)((𝑂‘𝑃)‘𝑋)))
74		irngnzply1lem.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑃)‘𝑋) = 0 )
75	74	oveq2d 7440	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘(( deg1 ‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃)))))‘𝑋)(.r‘𝐸)((𝑂‘𝑃)‘𝑋)) = (((𝑂‘((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘(( deg1 ‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃)))))‘𝑋)(.r‘𝐸) 0 ))
76	9	crngringd 20191	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Ring)
77	13	fvexi 6914	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ V
78	77	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
79	22, 72	ffvelcdmd 7098	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘(( deg1 ‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))))) ∈ (Base‘(𝐸 ↑s 𝐵)))
80	14, 13, 20, 8, 78, 79	pwselbas 17476	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘(( deg1 ‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))))):𝐵⟶𝐵)
81	80, 1	ffvelcdmd 7098	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘(( deg1 ‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃)))))‘𝑋) ∈ 𝐵)
82		irngnzply1.1	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐸)
83	13, 45, 82	ringrz 20235	. . . . 5 ⊢ ((𝐸 ∈ Ring ∧ ((𝑂‘((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘(( deg1 ‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃)))))‘𝑋) ∈ 𝐵) → (((𝑂‘((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘(( deg1 ‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃)))))‘𝑋)(.r‘𝐸) 0 ) = 0 )
84	76, 81, 83	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘(( deg1 ‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃)))))‘𝑋)(.r‘𝐸) 0 ) = 0 )
85	73, 75, 84	3eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(((algSc‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))‘((invr‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘((coe1‘𝑃)‘(( deg1 ‘(𝐸 ↾s 𝐹))‘𝑃))))(.r‘(Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹)))𝑃))‘𝑋) = 0 )
86	40, 44, 85	rspcedvd 3611	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ (Monic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))((𝑂‘𝑝)‘𝑋) = 0 )
87	12, 15, 13, 82, 9, 11	elirng 33369	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑝 ∈ (Monic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))((𝑂‘𝑝)‘𝑋) = 0 )))
88	1, 86, 87	mpbir2and 711	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2936  ∃wrex 3066  Vcvv 3471  dom cdm 5680  ⟶wf 6547  ‘cfv 6551  (class class class)co 7424  ℕ₀cn0 12508  Basecbs 17185   ↾_s cress 17214  ._rcmulr 17239  Scalarcsca 17241  0_gc0g 17426   ↑_s cpws 17433  Ringcrg 20178  CRingccrg 20179  inv_rcinvr 20331   RingHom crh 20413  SubRingcsubrg 20511  DivRingcdr 20629  Fieldcfield 20630  SubDRingcsdrg 20679  LModclmod 20748  AssAlgcasa 21789  algSccascl 21791  Poly₁cpl1 22101  coe₁cco1 22102   evalSub₁ ces1 22237   deg₁ cdg1 26005  Monic_1pcmn1 26079  Unic_1pcuc1p 26080   IntgRing cirng 33366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-addf 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-isom 6560  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7689  df-ofr 7690  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-supp 8170  df-tpos 8236  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-er 8729  df-map 8851  df-pm 8852  df-ixp 8921  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-fsupp 9392  df-sup 9471  df-oi 9539  df-card 9968  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-z 12595  df-dec 12714  df-uz 12859  df-fz 13523  df-fzo 13666  df-seq 14005  df-hash 14328  df-struct 17121  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-ress 17215  df-plusg 17251  df-mulr 17252  df-starv 17253  df-sca 17254  df-vsca 17255  df-ip 17256  df-tset 17257  df-ple 17258  df-ds 17260  df-unif 17261  df-hom 17262  df-cco 17263  df-0g 17428  df-gsum 17429  df-prds 17434  df-pws 17436  df-mre 17571  df-mrc 17572  df-acs 17574  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-mhm 18745  df-submnd 18746  df-grp 18898  df-minusg 18899  df-sbg 18900  df-mulg 19029  df-subg 19083  df-ghm 19173  df-cntz 19273  df-cmn 19742  df-abl 19743  df-mgp 20080  df-rng 20098  df-ur 20127  df-srg 20132  df-ring 20180  df-cring 20181  df-oppr 20278  df-dvdsr 20301  df-unit 20302  df-invr 20332  df-rhm 20416  df-subrng 20488  df-subrg 20513  df-drng 20631  df-field 20632  df-sdrg 20680  df-lmod 20750  df-lss 20821  df-lsp 20861  df-rlreg 21235  df-cnfld 21285  df-assa 21792  df-asp 21793  df-ascl 21794  df-psr 21847  df-mvr 21848  df-mpl 21849  df-opsr 21851  df-evls 22023  df-evl 22024  df-psr1 22104  df-vr1 22105  df-ply1 22106  df-coe1 22107  df-evls1 22239  df-evl1 22240  df-mdeg 26006  df-deg1 26007  df-mon1 26084  df-uc1p 26085  df-irng 33367

This theorem is referenced by:  irngnzply1  33374

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »