Theorem mul02d 11436

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mul02d	⊢ (𝜑 → (0 · 𝐴) = 0)

Proof of Theorem mul02d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mul02 11416	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  (class class class)co 7414  ℂcc 11130  0cc0 11132   · cmul 11137

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-ltxr 11277

This theorem is referenced by:  mulneg1  11674  mulge0  11756  mul0or  11878  prodgt0  12085  un0mulcl  12530  mul2lt0rgt0  13103  mul2lt0bi  13106  lincmb01cmp  13498  iccf1o  13499  discr1  14227  discr  14228  hashxplem  14418  cshweqrep  14797  remul2  15103  immul2  15110  binomlem  15801  geomulcvg  15848  ntrivcvgfvn0  15871  fprodeq0  15945  fprodeq0g  15964  0fallfac  16007  binomfallfaclem2  16010  efne0  16067  dvds0  16242  pwp1fsum  16361  smumullem  16460  mulgcd  16517  bezoutr1  16533  lcmgcd  16571  qnumgt0  16715  pcexp  16821  vdwapun  16936  vdwlem1  16943  mulgnn0ass  19058  odmulg  19504  torsubg  19802  isabvd  20693  nn0srg  21363  rge0srg  21364  prmirredlem  21391  pzriprnglem8  21407  nmo0  24645  nmoeq0  24646  blcvx  24707  reparphti  24916  reparphtiOLD  24917  pcorevlem  24946  ipcau2  25155  rrxcph  25313  itg1addlem4  25621  itg1addlem4OLD  25622  itg1addlem5  25623  itg1mulc  25627  itg2mulc  25670  dvcmul  25868  dvmptcmul  25889  dvexp3  25903  dvef  25905  dveq0  25926  dv11cn  25927  ply1termlem  26130  plyeq0lem  26137  plypf1  26139  plyaddlem1  26140  plymullem1  26141  coeeulem  26151  coeidlem  26164  coeid3  26167  coemullem  26177  coemulhi  26181  coemulc  26182  dgrco  26203  vieta1lem2  26239  elqaalem2  26248  aalioulem3  26262  taylthlem2  26302  taylthlem2OLD  26303  abelthlem6  26366  pilem2  26382  sinhalfpip  26420  sinhalfpim  26421  coshalfpip  26422  coshalfpim  26423  logtayl  26587  mulcxp  26612  cxpmul2  26616  cxpeq  26685  chordthmlem5  26761  cubic  26774  atans2  26856  atantayl2  26863  leibpi  26867  efrlim  26894  efrlimOLD  26895  scvxcvx  26911  amgm  26916  ftalem5  27002  basellem2  27007  mumul  27106  muinv  27118  dchrn0  27176  dchrinvcl  27179  lgsdirnn0  27270  lgsdinn0  27271  lgsquad2lem2  27311  rpvmasumlem  27413  dchrisum0flblem1  27434  rpvmasum2  27438  ostth2lem2  27560  brbtwn2  28709  axsegconlem1  28721  axpaschlem  28744  axcontlem7  28774  axcontlem8  28775  elntg2  28789  nvz0  30471  ipasslem1  30634  hi01  30899  fprodeq02  32580  xrge0iifhom  33532  indsum  33634  indsumin  33635  eulerpartlemsv2  33972  eulerpartlems  33974  eulerpartlemsv3  33975  eulerpartlemgc  33976  eulerpartlemv  33978  eulerpartlemgs2  33994  sgnmul  34156  plymul02  34172  plymulx0  34173  itgexpif  34232  breprexplemc  34258  breprexp  34259  logdivsqrle  34276  subfacp1lem6  34789  cvxpconn  34846  cvxsconn  34847  fwddifnp1  35755  lcmineqlem10  41503  deg1pow  41607  efne0d  41902  pell1234qrne0  42267  jm2.19lem3  42406  jm2.25  42414  flcidc  42592  relexpmulg  43134  radcnvrat  43745  dvconstbi  43765  binomcxplemnn0  43780  sineq0ALT  44370  fperiodmullem  44679  fprod0  44978  dvsinax  45295  dvasinbx  45302  ioodvbdlimc1lem2  45314  ioodvbdlimc2lem  45316  dvnxpaek  45324  dvnmul  45325  itgsinexplem1  45336  dirkertrigeqlem2  45481  fourierdlem42  45531  fourierdlem83  45571  sqwvfoura  45610  fouriersw  45613  elaa2lem  45615  etransclem15  45631  etransclem24  45640  etransclem35  45651  etransclem46  45662  sigarcol  46246  sharhght  46247  fmtnofac2  46903  rrx2linest  47809  line2x  47821  line2y  47822  itschlc0yqe  47827  itschlc0xyqsol1  47833  itschlc0xyqsol  47834  2itscp  47848  aacllem  48228

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »